Matematica

UNIDAD I
CONCEPTOS BASICOS

1. ECUACIÓN DIFERENCIAL
Es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales de una función desconocida con respecto a una o más variables independientes.
Ejemplos:


• [pic]
• [pic][pic][pic]
• [pic]


1. ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL:
Es el orden de la derivada más alta que aparezca en la ecuación.Ejemplos:
• [pic]
• [pic]+[pic] [pic]
• [pic] [pic]


3. GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL:
Esta determinada por la potencia de la derivada de mayor orden.
Ejemplos:


• [pic] [pic]
• [pic] [pic]
Ahora consideremos; [pic]- [pic] ………..([pic])
[pic][pic]= [pic]elevado a la potencia 12
[pic][pic]Luego, el grado de la ecuación ([pic]) es 8


4. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES:
1. Por la Cantidad de Variables Independientes
a) Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO)
Cuando la función desconocida depende solamente de una variable independiente.
Ejemplos:
• [pic], donde: [pic]
• [pic], donde: [pic]Observación:
A las EDO de orden “n” se denota por:
[pic] , Donde el coeficiente de [pic] es diferente de cero, también: [pic]
b) Ecuación Diferencial Parcial (EDP)
Cuando la función depende de dos ó más variables independientes.
Ejemplos:
• [pic]
• [pic]
2. Por la Linealidad de la variableIndependiente:
a) EDO. Lineal:
Sea: [pic] ……….. ([pic])
Entonces:
([pic]) es lineal si tiene la forma:
[pic]
Ejemplo:
[pic]
b) EDO no Lineal.
Una EDO es no lineal si no cumple la condición de linealidad.
Ejemplo: [pic]


5. SOLUCIÓN DE UNA EDO.
Sea la EDO.[pic] ……….. ([pic]) una solución o integral de ([pic]) es una función [pic] determinada en tal que al sustituirla en ([pic]), ésta se convierte en una identidad.
Ejemplo:
Comprobar que la función: [pic] satisface a la ecuación diferencial: [pic]

Solución:
Sea [pic] ……….. ([pic])
Derivando ([pic]) respecto a x. Usando el 1er Teorema Fundamental del
Cálculo,tenemos:
[pic]
[pic] Multiplicando por [pic] se tiene:
[pic] lqqd.

1. Tipos de solución
a) Solución General.- Una solución general de ([pic]) es el conjunto de todas o casi todas las soluciones.
Ejemplo:
[pic] Es una solución general de [pic] ya que al dar valores a
la constante C, encontramos infinitas soluciones.Observación: “Si la EDO es de orden “n”, en su solución existirán “n”
constantes arbitrarias”
b) Solución Particular: Una solución particular de ([pic]) es una solución cualquiera que se obtiene dando valores particulares a las constantes arbitrarias que aparecen en la solución general.
En nuestro ejemplo anterior:
Cuando: [pic] son soluciones[pic] particulares de: [pic]


c) Solución Singular: En ocasiones una EDO puede tener una solución adicional que no puede obtenerse de la solución general; a esta se le llama solución singular.
Ejemplo:
[pic] Tiene como solución general a: [pic]; sin embargo: [pic], también es una solución que no puede obtenerse de la solucióngeneral para ningún valor de C.


6. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL.
Es un problema que busca determinar una solución a una EDO, sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas de un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales.
Ejemplo:
Dada la ecuación diferencial [pic] , que tiene como solución...