MATEMATICA


INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO

UNIDAD II: LÍMITE FUNCIONAL

Hemos visto que graficar funciones no siempre es fácil. Con tomar una tabla de valores, a veces no es suficiente, por que hay que tener cuidado al unir los puntos. Por esta razón a veces es necesario estudiar cómo se comporta la función alrededor de un punto determinado o para valores de x en valor absoluto cada vez másgrandes
Veamos los siguientes ejemplos:

a) Supongamos que queremos graficar la función y  x 3 - 1
x - 1
Lo primero que debemos hacer es hallar su dominio: D = R - 1

Luego tomamos una tabla de valores para obtener algunos puntos.

x 0 2 -0.5 -1 -2-3
y 1 7 3/4 1 3









El problema es ahora cómo unir los puntos, para ello es importante saber cómo se comporta la función en un entorno reducido del punto 1. Podemos tomar otra tabla de valores, con valores muy próximos al 1, por derecha y por izquierda, y ver qué pasa con sus imágenes.1
x 0.5 0.75 0.9 0.99 0.999 1.001 1.01 1.25 1.5
y 1.75 2.313 2.710 2.97 2.997 3.003 3.310 3.813 4.7
3

Vemos que cuando x se acerca al 1 por la derecha y por la izquierda sus imágenes se acercan al n°3. Esto se expresadiciendo que cuando x tiende al n° l, la función tiende al n°3. O bien que 3 es el límite de la función cuando x tiende al n° 1.
En símbolos: lim 1 f(x) = 3
Ahora si podemos unir los puntos:











Vemos que obtenemos una parábola lo que es lógico, por que al dividir un polinomio de grado 3 con un polinomio de grado 1, se obtiene un polinomio de grado 2. Aunque la función no estádefinida en x=1, si tiene límite en x=1, esto produce una laguna en el punto (1,3). Esto ocurre muy a menudo y es muy importante darse cuenta que aunque el punto x=1 no tiene imagen lo mismo puede tener límite

b) Grafiquemos ahora la siguiente función : y = 1
(x - 2)2
Buscamossu dominio: D = R - 2 

Tomemos una tabla de valores:

x -1 -0.5 0 0.5 1 3 3.5 4
y 1/9 4/25 1/4 4/9 1 1 4/9 ¼








Cómo unimos los puntos? Qué pasa con la función entre 1 y 3 ?. Tomemos otra tabla con valores cercanos al 2.

2
x 1.9 1.99 1.999 2.001 2.012.1
y 100 10000 1000000 1000000 10000 100
 

Observamos que cuando x tiende al 2, tanto por derecha como por izquierda, la función toma valores cada vez más grandes, por lo tanto en este caso la función no tiende a un número, sino que aumenta infinitamente. En este caso decimos queno hay límite en x=2 pero se aclara diciendo que el límite da infinito.
En símbolos lim 2 f(x) = +  .










Siempre que se presenta esta situación, la función tiene una asíntota vertical en el punto x=a (la recta x=a es la asíntota vertical al gráfico de la función).

c) Grafiquemos ahora la función y = 2 1/x

El dominio es : D= R* = R -  0 

Tomemos una tabla devalores

x -3 -2 -1 1 2 3
y 0.79 0.7 0.5 2 1.41 1.2





Cómo unimos los puntos?
Analicemos cerca del 0 qué pasa.

0
x -0.5 -0.1 -0.01 0.01 0.1
y 0.25 0.0009 7 10-31 1.2 1030 1024...