Matematica

Los viejos métodos de cálculo. Un dominio para transitar de la aritmética al álgebra y viceversa:
Bernardo Gómez Alfonso. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universitat de València.
Los números, como todos los objetos de los conocimientos humanos, se pueden considerar en general y en particular; es decir, bajo la relación de sus leyes y bajo la de sus hechos. Por ejemplo, estaproposición; la suma de dos números multiplicada por su diferencia, es igual a la diferencia de sus cuadrados, es una ley de los números, porque se aplica generalmente a todos ellos; mientras que esta: once multiplicado por cinco es igual a cincuenta y cinco, es un hecho de dos números, por que solo se aplica a los números 11, 5 y 55. Esta distinción divide a la ciencia de los números en dos ramosgenerales, de los cuales el que trata de leyes, es el álgebra, y el que trata de los hechos es la Aritmética (Vallejo, Introducción al tratado, pie, p. XLIV)

Resumen
En este trabajo se defiende el interés educativo de los métodos alternativos de cálculo aritmético recogidos por la tradición escrita, como dominio para hacer intervenir el álgebra en su papel de herramienta privilegiada para haceremerger la estructura formal de la operatoria aritmética.

Introducción Ideas que articulan el presente trabajo: • La aritmética no debe enseñarse como una colección de habilidades independientes, sino como un sistema matemático organizado según principios definidos. Los principios unificadores, las relaciones y el contenido deben estar organizados de manera que el alumno advierta la estructuralógica y coherente del tema (Flournoy, 1969, p. 19). • El álgebra es una herramienta apta para comprender las generalizaciones, captar conexiones estructurales y argumentar en matemáticas. • Algebra y aritmética no son sistemas matemáticos aislados, de hecho el álgebra generaliza a la aritmética y la aritmética se apropia de su lenguaje horizontal de igualdades y paréntesis. Una consecuencia lógica quese extrae de estas tres ideas es que la enseñanza de la aritmética y del álgebra debería organizarse evitando saltos, rupturas o cortes didácticos entre ellos, respetando naturalmente la naturaleza secuencial de ambos sistemas matemáticos. Sin embargo, se ha constatado (Lee y Wheeler, 1989) 1

que existe disociación entre la aritmética y el álgebra que es mayor de la que cabría esperar entrelos estudiantes que resuelven con éxito las tareas algebraicas estandar. Esta disociación pone de manifiesto que éstos estudiantes no ven la relevancia del álgebra en aquellas situaciones aritméticas que requieren de este otro tipo de razonamiento, como tampoco ven la importancia de usar la aritmética para determinar la verdad o falsedad de una expresión algebraica. En relación con esta disociaciónse ha observado en un trabajo reciente (Gómez, 1994) que los estudiantes no sienten la necesidad de expresar sus procedimientos de cálculo mental en el lenguaje horizontal del álgebra, mientras lo pueden hacer con una combinación de lenguajes: aritmético de columnas, retórico de órdenes de unidades y coloquial. Esto es un indicio de que uno de los problemas que debemos enfrentar los profesores alintroducir el lenguaje algebraico es lograr que los estudiantes capten la funcionalidad del sistema de signos del álgebra para las situaciones aritméticas y adviertan relaciones aritméticas en las fórmulas algebraicas. Para lograr este objetivo parece que no basta con la práctica usual de plantear ejercicios de traducción como una formalización de lo que ya se sabe o resolver ejercicios conexpresiones literales como un nuevo tipo de cálculo reglado, porque esto no es suficiente razón para lograr que los estudiantes cambien un lenguaje en el que ya están familiarizados por otro en el que no lo están, sino que sería necesario hacer que el nuevo lenguaje aparezca como una herramienta para obtener nuevas cosas o para estructurar las que ya se conocen. Pero de esta doble naturaleza del...