matematica

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE EDUCACION SUPERIOR

FACULTAD DE INGENIERIA
MATEMATICA



PROYECTO





INTEGRANTE:








CARACAS, SEPTIEMBRE 2014
Introducción

Los números que hoy llamamos “complejos” fueron durante muchos años motivo de polémicas y controversias entre la comunidad científica. Poco a poco, por la creciente evidencia de su utilidad,acabaron por ser comúnmente aceptados, aunque no fueron bien comprendidos hasta épocas recientes. Nada hay de extraño en ello si pensamos que los números negativos no fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII.
Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano (1501-1576) y Bombelli (1526-1672) relacionados con el cálculo de las raíces de lacúbica o ecuación de tercer grado. Fue René Descartes (1596-1650) quien afirmó que “ciertas ecuaciones algebraicas sólo tienen solución en nuestra imaginación” y acuñó el calificativo “imaginarias” para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del siglo
XVIII los números complejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando la solución de un problemaresulta ser un número complejo se interpreta













El cuerpo de los números complejos
Producto de números complejos.
Definimos la operación interna en :
definida por .
Es evidente que la aplicación anterior está correctamente definida. Se denomina producto de números complejos. Se acostumbra a prescindir del signo "". Veamos sus propiedades:
El producto es conmutativo.
Elproducto de números complejos verifica la propiedad conmutativa.
Demostración:
Sean. Entonces:
;
.
Como el producto de números reales verifica la propiedad conmutativa, los segundos miembros de las igualdades anteriores son iguales. Luego, por la propiedad transitiva de la relación de igualdad, lo son también los primeros miembros.
En particular. Así, es indiferente escribir que, ya que ambosresultados son el mismo número complejo.
El producto es asociativo.
El producto de números complejos verifica la propiedad asociativa.
Demostración:
Sean. Recordamos que el producto de números reales cumple las propiedades asociativa y conmutativa, que es distributivo respecto de la suma y que la suma de números reales también es conmutativa. Así:


El producto tiene elemento neutro.
Elnúmero complejo 1 es elemento neutro para el producto de números complejos.
Demostración:
Consideremos el número complejo . Si es un número complejo, entonces:
.
La conmutatividad del producto concluye la prueba.
El producto tiene elemento simétrico.
Dado cualquier número complejo , existe un número complejo de manera que .
Demostración:
Sea . Consideramos el número complejo .
Veamos que esun número complejo no nulo. En efecto, como , o bien y entonces es , o bien es y entonces es . En ambos casos es , y . Además, de nuevo, si es , será , y si es , será . Como forman una base de como -espacio vectorial, entonces es .
Ahora:
.
La conmutatividad del producto de números complejos nos permite afirmar que .
Grupo abeliano del producto.
Según las propiedades que hemos probado hastaahora, el producto de números complejos dota al conjunto de estructura de grupo abeliano. Denotaremos por . Al grupo abeliano se lo denomina a veces como grupo multiplicativo complejo. Al elemento neutro se lo suele denominar elemento unidad, o sencillamente unidad. Dado , al elemento simétrico se le suele denominar elemento inverso de , o sencillamente inverso de .
La Teoría de Grupos nos permiteafirmar que el elemento unidad es único (es decir, existe un único elemento unidad), y que fijado , existe un único inverso de .
Números complejos. Funciones complejas elementales
1.1.
1.2 El cuerpo C de los números complejos 2
Dentro de las matemáticas al probar en 1799 el resultado conocido como Teorema Fundamental del Álgebra que afirma que toda ecuación polinómica de grado n con...