Matematica

jacobiano
En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre enhonor al matemático Carl Gustav Jacobi.

En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curvapuede ser embebida.

Matriz jacobiana
La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es laposibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.
Propiamente deberíamos hablar más que de matrizjacobiana, de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobianatendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera  continua, es decir  se dirá quees diferenciable si existe una aplicación lineal  tal que:

(1)




Función escalar
Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar . En este caso la matriz jacobiana será una matriz formadapor un vector fila que coincide con el gradiente


Si la función admite derivadas parciales para cada variable puede verse que basta definir la "matriz" jacobiana como:

Ya que entonces se cumplirála relación (1) automáticamente, por lo que en este caso la "matriz jacobiana" es precisamente el gradiente.

Función vectorial
Supongamos  es una función que va del espacio euclídeo n-dimensional aotro espacio euclídeo m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones escalares reales:

Cuando la función anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de estas m funciones...