Matematica


































AÑO
ACONTECIMIENTOS
IV a.C.
El método de obtención del M.C.D. por divisiones sucesivas. Aparece ya descrito en su obra “Elementos” del matemático griego Euclides.
1200
Leonardo Pisano. Escribió un libro titulado Liber Abaci, donde explica las matemáticas usada por los árabes que fue aprendida de los Indus. El cero es la nada.






















JUSTICIADIVINA

Cierto día se había cometido en una ciudad un terrible crimen por lo cual los habitantes de la ciudad buscaron a los culpables y decidieron matarlos, pero en su afán por capturar a los culpables capturaron a 16 sospechosos, siendo 5 de ellos inocentes.

Para saber quienes eran culpables y quienes inocentes los habitantes de la ciudad consultaron con los dioses, recibiendo la siguienterespuesta:

“A lo largo y ancho de un terreno lanzaremos rayos muriendo todo aquel que no este en una posición adecuada estará distanciada “x” metros una de otra, y además esta distancia divide exactamente el largo y ancho del terreno en partes iguales, no pudiendo colocarse una persona en las esquinas. ¿Cuál es el valor de esta medida “x”? además se sabe que “x” es lo mayor posible:
Ancho = 12metros Largo = 16 metros”























Como se puede ver la distancia “x” debe ser un número que divide exactamente a 16 y 12 y además la mayor posible, ¿Cuánto vale esta medida?



MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)


MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
Es el mayor divisor que tienen en común dos o más números.

Ejm:

Hallar el MCD de 12 y 18

Divisores

12 : 1 , 2, 3 , 4 , 6 , 12

18 : 1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18


divisores comunes de 12 y 18: 1, 2, 3, 6

Pero el mayor es 6.

 6 es el máximo común divisor de 12 y 18.
MCD (12, 18) = 6



MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Es el menor múltiplo que tienen en común dos o más números.








Ejm:

Hallar el MCM de 12 y 18.

Múltiplos

12 : 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , …18 : 18 , 36 , 54 , 72 , …


Múltiplos comunes de 12 y 18: 36 y 72, …

Pero el menor es 36:

 36 es el mínimo común múltiplo de 12 y 18.

MCM (12, 18) = 36



MÉTODOS DE CÁLCULO DEL MCD Y MCM

I. Por descomposición canónica

Hallar el MCD y MCM de 40 y 60.


Paso 1: Descomposición canónica









40 = 23 x 5

60 = 22 x 3 x 5



Paso 2: Comparación:

Para el MCD


23> 22 22

5 = 5 5







Para el MCM


23 > 22 23

5 = 5 5

3








AHORA TÚ:

Halla el MCD y MCM de 54 y 30.

Halla el MCD y MCM de 36 y 48.




II. Por descomposición simultánea

Hallar el MCD y MCM de 60 y 84


Paso 1: Se descompone a todos a la vez.

60 - 84 2
30 - 42 2
15 - 21


Paso 2: Analizo:
15 y 21 no tienen divisor 2

 Pruebo con divisor 3,luego 5, luego 7 y así sucesivamente

60 - 84 2
30 - 42 2
15 - 21 3
5 - 7


Como 5 y 7 son PESI entonces:
La descomposición simultánea para el MCD llega a su fin.

 MCD (60 y 84) = 22 x 3 = 12




Paso 3: Para el MCM
Se sigue dividiendo, no importa si solo uno tiene divisores diferentes del otro.


60 - 84 2
30 - 42 2
15 - 21 3
5 – 7 5 1
1 –7 7 2
1 - 1


1. ¿Pero 5 tiene divisor 5 pero 7 no?
No importa se sigue dividiendo.

2. ¿Pero 7 tiene divisor 7 pero 1 no?
No importa se sigue dividiendo.


La descomposición simultánea para el MCM llega a su fin cuando se obtienen puros unos.




AHORA TÚ:

Hallar el MCD y MCM de:
a) 45 y 35
b) 240 y 180




CONCLUSIONES

Para el MCD:
La descomposición simultánea acaba cuando se obtienennúmeros PESI.

Para el MCM:
La descomposición simultánea llega a su fin cuando se obtienen puros unos.

Además:

Para 2 números:


MCM(A, B) x MCD(A, B) = A x B





Ejm:

MCD(40, 60) = 20 A = 40
MCM(40, 60) = 120 B = 60

MCM(40 , 60) x MCM(40, 60) = 40 x 60

20 120 = 40 x 60

2400 = 2400


Ejm:

Si el MCM de dos números es 22 x 3 x 5 x 7 y el producto...