Matematica
Páginas: 67 (16676 palabras)
Publicado: 27 de enero de 2013
Capítulo 1
Lógica y Conjuntos
Introducción
Todos estamos familiarizados con la idea de que algunas personas poseen
una mentalidad lógica mientras que otras no. No siempre resulta sencillo seguir
razonamientos o argumentos extensos para obtener conclusiones válidas.
Nosotros trabajamos con argumentos dentro de la lógica aristotélica, donde
todo argumento debe ser o verdadero o falso, noexiste una tercera posibilidad.
Para poder manejar y operar entre estos argumentos, el lenguaje usual puede
resultar ambiguo respecto a la validez de los argumentos.
La frase: “Pon el sobre que te sobre, sobre la mesa”, sugiere que la palabra
sobre tiene tres diferentes significados en la misma oración. Por ello, se necesita
de un lenguaje que sea más preciso: la lógica simbólica. Su propósitoconsiste
en establecer un nuevo lenguaje, el cual se pueda utilizar para simplificar el
análisis de argumentos lógicos complicados.
La lógica simbólica es la rama de las matemáticas que nos permite
reconocer la validez de una argumentación, así como también nos proporciona
las herramientas de razonamiento necesarias para elaborar demostraciones
irrefutables y convincentes. Una parteimportante de las matemáticas son las
definiciones, éstas en general no responden a la pregunta ¿qué es?, sino a la
pregunta ¿qué características tiene?
Además, las definiciones tienen una parte conceptual
(¿qué significa?) y una parte operativa (¿cómo se trabaja?).
Leibniz fue el primero en concebir este planteamiento,
cuando a la edad de 14 años intentó reformar la lógica
clásica. En 1666,deseaba crear un método general en el
cual todas las verdades de la razón serían reducidas a
una especie de cálculos, llamando a la lógica simbólica
“característica universal”.
Gottfried Leibniz,
matemático alemán
(1646-1716)
El sueño de Leibniz no se realizó hasta que Boole separó
los símbolos presentes en las operaciones matemáticas,
de los conceptos sobre los cuales operaban y establecióun sistema factible y sencillo de lógica simbólica.
pág. 7
En 1854, Boole expuso sus ideas en su obra “An
Investigation of the Laws of Thought” (Investigación
de las Leyes del Pensamiento). Desgraciadamente,
este trabajo no recibió buena aceptación, y no
fue sino hasta que los ingleses Bertrand Russell
(1872-1970) y Alfred North Whitehead (1861-1947)
utilizaron la lógica simbólica ensu obra “Principia
Mathematica” (1902), que el mundo de la matemática
dio importancia a las ideas propuestas inicialmente
por Leibniz alrededor de 250 años antes.
v
1
0
1
0
t
Señales de voltaje digitales
que alimentan el hardware
del computador.
George Boole,
matemático inglés
(1815-1864)
El álgebra booleana constituye un área de
las matemáticas que ha pasado aocupar un
lugar prominente con el advenimiento de la
computadora digital. Es usada ampliamente
en el diseño de circuitos de distribución y
computadoras; y, sus aplicaciones van en
aumento en muchas otras áreas.
En el nivel de lógica digital de una computadora, el hardware trabaja con
diferencias de voltaje, las cuales generan funciones que son calculadas por
los circuitos que forman elnivel.
En este capítulo se tratará de responder a la pregunta ¿cómo podemos
llegar a ser más lógicos? Se pretende aplicar la lógica no solamente en el
estudio de las ciencias, sino también en la vida cotidiana. Es necesario poder
comunicarse de manera inteligente con los demás; se requiere adquirir
capacidad para analizar los argumentos de nuestros dirigentes y legisladores;
necesitamos serconsumidores inteligentes para analizar las aseveraciones
de los anunciantes. Bien sea que nos agrade o no, la lógica es una parte
importante del mundo que nos rodea y en este capítulo sentaremos las bases
que nos ayudarán a ser definitivamente más lógicos.
1.1 Proposiciones
Objetivos
Al finalizar esta sección el lector podrá:
* Dadas varias oraciones, identificar cuáles son proposiciones y...
Lógica y Conjuntos
Introducción
Todos estamos familiarizados con la idea de que algunas personas poseen
una mentalidad lógica mientras que otras no. No siempre resulta sencillo seguir
razonamientos o argumentos extensos para obtener conclusiones válidas.
Nosotros trabajamos con argumentos dentro de la lógica aristotélica, donde
todo argumento debe ser o verdadero o falso, noexiste una tercera posibilidad.
Para poder manejar y operar entre estos argumentos, el lenguaje usual puede
resultar ambiguo respecto a la validez de los argumentos.
La frase: “Pon el sobre que te sobre, sobre la mesa”, sugiere que la palabra
sobre tiene tres diferentes significados en la misma oración. Por ello, se necesita
de un lenguaje que sea más preciso: la lógica simbólica. Su propósitoconsiste
en establecer un nuevo lenguaje, el cual se pueda utilizar para simplificar el
análisis de argumentos lógicos complicados.
La lógica simbólica es la rama de las matemáticas que nos permite
reconocer la validez de una argumentación, así como también nos proporciona
las herramientas de razonamiento necesarias para elaborar demostraciones
irrefutables y convincentes. Una parteimportante de las matemáticas son las
definiciones, éstas en general no responden a la pregunta ¿qué es?, sino a la
pregunta ¿qué características tiene?
Además, las definiciones tienen una parte conceptual
(¿qué significa?) y una parte operativa (¿cómo se trabaja?).
Leibniz fue el primero en concebir este planteamiento,
cuando a la edad de 14 años intentó reformar la lógica
clásica. En 1666,deseaba crear un método general en el
cual todas las verdades de la razón serían reducidas a
una especie de cálculos, llamando a la lógica simbólica
“característica universal”.
Gottfried Leibniz,
matemático alemán
(1646-1716)
El sueño de Leibniz no se realizó hasta que Boole separó
los símbolos presentes en las operaciones matemáticas,
de los conceptos sobre los cuales operaban y establecióun sistema factible y sencillo de lógica simbólica.
pág. 7
En 1854, Boole expuso sus ideas en su obra “An
Investigation of the Laws of Thought” (Investigación
de las Leyes del Pensamiento). Desgraciadamente,
este trabajo no recibió buena aceptación, y no
fue sino hasta que los ingleses Bertrand Russell
(1872-1970) y Alfred North Whitehead (1861-1947)
utilizaron la lógica simbólica ensu obra “Principia
Mathematica” (1902), que el mundo de la matemática
dio importancia a las ideas propuestas inicialmente
por Leibniz alrededor de 250 años antes.
v
1
0
1
0
t
Señales de voltaje digitales
que alimentan el hardware
del computador.
George Boole,
matemático inglés
(1815-1864)
El álgebra booleana constituye un área de
las matemáticas que ha pasado aocupar un
lugar prominente con el advenimiento de la
computadora digital. Es usada ampliamente
en el diseño de circuitos de distribución y
computadoras; y, sus aplicaciones van en
aumento en muchas otras áreas.
En el nivel de lógica digital de una computadora, el hardware trabaja con
diferencias de voltaje, las cuales generan funciones que son calculadas por
los circuitos que forman elnivel.
En este capítulo se tratará de responder a la pregunta ¿cómo podemos
llegar a ser más lógicos? Se pretende aplicar la lógica no solamente en el
estudio de las ciencias, sino también en la vida cotidiana. Es necesario poder
comunicarse de manera inteligente con los demás; se requiere adquirir
capacidad para analizar los argumentos de nuestros dirigentes y legisladores;
necesitamos serconsumidores inteligentes para analizar las aseveraciones
de los anunciantes. Bien sea que nos agrade o no, la lógica es una parte
importante del mundo que nos rodea y en este capítulo sentaremos las bases
que nos ayudarán a ser definitivamente más lógicos.
1.1 Proposiciones
Objetivos
Al finalizar esta sección el lector podrá:
* Dadas varias oraciones, identificar cuáles son proposiciones y...
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