Matematica

APLICACIÓN DE LA DERIVADA
Aplicación física de la derivada
         Consideremos la función espacio E= E(t).
         La tasa de variación media de la función espacio en  el intervalo  [t0, t]  es:  vM(t)=, que es lo que en Física llaman la  velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:
La derivada delespacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.
Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es , , calcula la velocidad en el instante t =5.
         Solución
         v(t)=E’(t)= 2t -6     en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4

Aplicación de la derivada a la representación gráfica de funciones

El conocimiento de una función se completa perfectamente dibujando su gráfica, lossiguientes resultados dan una idea aproximada de ésta:
I) Estudio de f (resumen)
1º Dominio de f.
2º Puntos de corte con los ejes.
3º Signo de la función (regiones en las que varía el signo).
4º Simetrías.
- Si f(-x) = f(x), función par, simétricas respecto del eje de ordenadas.
- Si f(-x) =-f(x), función impar, simétrica respecto del origen.
5º Asíntotas
- Verticales
Si existe a talque , x =a es la ecuación de una asíntota vertical.
- Horizontales
Si ,  y =b es una asíntota horizontal.
- Oblicuas
Si    y  , y =m x +n es una asuntota oblicua.

II) Estudio de f’ (resumen)
1º Crecimiento y decrecimiento.
Si f ’(x)>0 , f es creciente. Si f ’(x)<0, f es decreciente.
2º Máximos y mínimos relativos
Condición necesaria de máximo y mínimo es que f ’(x)=0.

III)Estudio de f’’(resumen)
1º Concavidad y convexidad, f ’’>0 convexa È, f ’’<0 cóncava Ç
2º S i f ’’(x0) =0 y en dicho punto cambia la curvatura es punto de inflexión.

Ejemplo: Representamos gráficamente la función

I) Estudio de f
1º D =R
2º Puntos de corte, el (0, 0)
3º Signo de f, negativa en x<0 y positiva para x>0
4º Simetrías, f(-x) = -f(x), luego simétrica respecto delorigen.
5º Asuntotas.
No hay verticales por que el dominio es todo R
Horizontales y =0
No hay oblicua.

II) Estudio de f ’
, f ’(x)=0 Þ -x2+1=0, de donde x =1
x | - |   | -1 |   | 1 |   | |
f '(x) |   | - | 0 | + | 0 | - |   |
f(x) |   | Decrece | Mínimo | Crece | Máximo | Decrece |   |
 
 
 
1º f decrece en los intervalos ]-, -1[ y ]1, [  y crece en ]-1, 1[
2º Tiene un mínimorelativo en el punto (-1, -1/2) y un máximo relativo en el punto
(1, 1/2).

III) Estudio de f ’’
f ’’(x)==
f ’’(x)=0 Þ
x | - |   | - |   | 0 |   | + |   | |
f ’’ |   | - | 0 | + | 0 | - | 0 |   |   |
f |   | Ç | inflexión | È | inflexión | Ç | inflexión | È |   |
 
 
 
En la tabla se indica la curvatura y los puntos de inflexión
La gráfica es:
 
 

Ejercicio: Representarlas gráficas de las siguientes funciones:
a) ; b) ; c)

Ejemplo: La gráfica de y = ln (x2+1) es:

Ejemplo: La gráfica de y =ln (x2-1)

Ejercicio: Representa gráficamente: a) y = x e x ;      b) .

EJERCICIOS RESUELTOS
http://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm
1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula:R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento odecrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Se deriva la función:
R`(x)=-0,004x+0,8
-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
R`(x)=0 ,
 
-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, uno muy mecánico:...