Matematica

Dpto. de Econom´ Cuantitativa ıa
Universidad Complutense de Madrid

´ Algebra Lineal
Tema 2 Espacios vectoriales

Marcos Bujosa

Material de apoyo para el curso Matem´ticas II del Grado en Econom´ de la a ıa Universidad Complutense de Madrid

© 2007–2013 Marcos Bujosa

Actualizado el: 15 de febrero de 2013

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Este es un material de apoyo a las clases. En ning´n caso sustituye a los manuales que figuran en el u programa de la asignatura; textos que el alumno debe estudiar paraafrontar el examen final con ciertas garant´ de ´xito. ıas e NOTA: Para poder sacar provecho de las lecciones en clase, es IMPRESCINDIBLE haber le´ las secciones correspondientes a las referencias b´sicas, o manuales equivalentes que usted ıdo a elija, y las secciones de notas correspondientes de este material que tiene entre sus manos. El profesor dar´ por supuesto que usted as´ lo ha hecho. a ıLas lecciones en clase ser´n una exposici´n general de cada tema. Los detalles deber´n ser a o a preparados por el alumno mediante los manuales recomendados y las notas de este material. El tiempo dedicado a resolver problemas en clase es un buen momento para resolver dudas con el profesor. Recuerde que antes de cada clase, usted debe haber le´ las secciones correspondientes del ıdo libro de texto.2

Tabla de Contenido
Lecci´n 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

5 5 7 10

1.

Espacios vectoriales y sub-espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas L-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lecci´n 6 . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

2. 3.

Espacio columna de una matriz C (A)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Espacio nulo de una matriz N (A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Problemas L-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lecci´n 7 . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

12 14

4.

Eliminaci´n Gaussiana para resolver Ax = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 o 4.1. Eliminaci´n Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 o 18 22

Problemas L-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . Lecci´n 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

5.

Soluci´n completa del sistema Ax = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 o 5.1. Teorema de Rouch´-Frobenius e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 25 33

Problemas L-8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lecci´n 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

6.

Independencia, base y dimensi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 o 6.1. 6.2. Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Sistema generador, base y dimensi´n...