Matematica

Numeros reales


En matemáticas,el conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes[1] (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifrasdecimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.[1]
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI yXVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosapara la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.[2] En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

Caracteristicas de los numeros reales



La unión de los racionales ylos irracionales forma el conjunto de los números reales. R=QUI

El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en , N, Z y Q es un conjunto totalmente ordenado.

Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.

Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos Q e I sonheredadas por R.
Como ya se ha visto, Q es denso en R . También es denso en R.

Podemos considerar R como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.
A diferencia de lo visto para , N,Z y Q, el conjunto de los reales no es numerable


R* = R – {0}
Reales positivos R+
Reales negativos R-
Q* = Q - {0}
Racionales positivos:Q+
Racionales Negativos:Q-Además podemos agregar las siguientes caracteristicas de conjuntos de los números reales

a) N∩Z- = ø El conjunto de los números naturales no tiene elementos en común con el subconjunto de los enteros negativos, por lo tanto, su intersección es conjunto vacío.

b) Q- UQ+ = Q* Al unir los subconjuntos Q- y Q+ Se obtiene todos los Q- y Q+ sin el cero es decir, Q*

c) I∩R- = I- Al intersectar losirracionales con los reales negativos, los elementos comunes a ambos son los irracionales negativos.

d) NUI = NUI Como el conjunto N no tiene elementos en común con el conjunto I, su unión no corresponde a ningún conjunto o subconjunto notable y por ello el resultado se expresa de esa forma.

e) R* U {0} = R El conjunto de los números reales sin el cero se denota así: R*, por lo tanto al unirlocon el cero se obtiene todo el conjunto R

Propiedades De Los Numeros Reales
Propiedades de los Números Reales Los números reales son los números que se utilizan para la medición de cantidades reales. Incluyen los números racionales, números irracionales, números enteros, decimales, etc. Estas cantidades reales incluyen longitud, velocidad, temperatura ambiente, tasas de crecimiento y muchosmás. Los números racionales e irracionales llenan completamente la recta numérica y forman el conjunto de los números reales. En palabras más simples, los números reales se pueden clasificar en números racionales y números irracionales. Estos números racionales se pueden dividir en números enteros y fracciones. Los números reales mantienen algunas de las propiedades básicas de las Matemáticas que...