Matematica

FACULTAD DE INFORMÁTICA DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA

ANÁLISIS MATEMÁTICO 2ª CURSO-PRIMER CUATRIMESTRE

PROBLEMAS resueltos DE ECUACIONES DIFERENCIALES

1. Calcular las trayectorias ortogonales de la familia de curvas = x − 1 + ke − x , k ∈ℜ y
SOLUCIÓN: Calculamos, en primer lugar la ecuación diferencial de la familia: y = x − 1 + ce − x    ⇔ y' +y = x . −x  y' = 1 − ce  La ecuacióndiferencial de las trayectorias es, entonces:

1 . y−x Con el cambio de variableu = y − x queda 1 u' +1 = , u y' =
ecuación de variables separadas que escribimos como  1  − 1 du = dx   1 − u  u = 1  Sus soluciones son 1 − u = ke las trayectorias:
− u− x

, k ∈ R . Deshaciendo el cambio anterior obtenemos la ecuación de

x = y − 1 + ke − y , k ∈ℜ .

2. Dado el sistema deecuaciones diferenciales
 x' = x − 2 y   y' = 2 x − 3 y a) resolverlo aplicando métodos matriciales, SOLUCIÓN: La matriz del sistema es  1 −2  A=    2 −3 con un único autovalor λ = −1de multiplicidad dos. Calculamos, por tanto, el subespacio    s  x   2 −2  x  0       =    = v =   , s ∈ℜ Ker( A + I ) = v =   :   y  2 −2  y  0   s          1Seleccionando elautovalor v =   , formamos la primera solución del sistema fundamental  1  1 α 1 ( t ) =   e −t .  1 Buscamos otra solución de la forma  1  a  α 2 ( t ) =   t +   e − t  1  b  

1

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obteniéndose quea = 1 ,b = 0 . Por lo tanto, la solución generaldel sistema es:

2

 x = c + ( t + 1 )c e − t 1  2 2 ,c1 ,c2 ∈ ℜ   y = [c1 + c2 t ]e − t 

[

]

b) reducirlo a una única ecuación diferencial en la variable . y

y' +3 y . Sustituimos en la primera 2 este valor y obtenemos que el sistema queda reducido a la ecuación de segundo orden +2y' + y = 0 . y''
SOLUCIÓN: Despejando

x

de la segunda ecuación resulta x =

3.Sabiendo que µ (x , y) = e y Senx es un factor integrante de la ecuación y F( x ) dx + x 2 G ( y ) dy = 0
se pide a) determinar las funciones F( x ) y G ( y ), SOLUCIÓN: Llamemos

P ( x , y ) = yF ( x ),Q( x , y ) = x 2 F ( y ).
Ahora, multiplicando por el factor integrante e igualando las derivadas cruzadas se obtiene la siguiente ecuación

( y + 1 )e y SenxF( x ) = 2 xSenx + x 2 Cosx e y G ( y )o, equivalentemente

F( x ) G( y ) = = λ ,λ ∈ℜ 2 2 x + x Ctgx y+1
De aquí se concluye que F ( x ) = λ 2 x + x 2 C tg x ,λ ∈ℜ,λ ≠ 0 G( y ) = λ ( y + 1 ) b) resolver la ecuación resultante. SOLUCIÓN: Dicha ecuación es

(

)

(2x + x C tg x)dx + x ( y + 1 )dy = 0 ,
2 2

y, multiplicando por el factor integrante queda

ye y 2 xSenx + x 2 Cosx dx + x 2 Senx e y ( y + 1 )dy = 0 La funciónpotencialU ( x , y ) ha de cumplir que U 'x = ye y 2 xSenx + x 2 Cosx ,U 'y = x 2 Senx e y ( y + 1 ) Integrando con respecto a y la segunda identidad se obtiene que U ( x , y ) = yx 2 Senx e y + ϕ ( x ).
Derivando con respecto dex y utilizando la primera identidad resulta

ye y 2 xSenx + x 2 Cosx + ϕ' ( x ) = ye y 2 xSenx + x 2 Cosx
Concluimos, entonces, que

U ( x , y ) = yx 2 Senx e y + c,c ∈ℜ ,

2

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siendo la solución general de la ecuación

yx 2 Senx e y = c ,c ∈ℜ .

4.

Estudiar los dominios de existencia y unicidad de soluciones de la ecuación diferencial

(y − 2 ) y' =

1

3

x2 − 1

es D = { x , y): x > 1}, siendo, ( x2 − 1 además, continua entodos los puntos del mismo. Por otra parte, (x , y) ∈ D con y ≠ 2 , es ∀
3

SOLUCIÓN:

El campo de existencia de

(y − 2 ) f ( x, y ) =

1

' f y ( x, y ) =

1 3(y − 2)
2 3

, x2 − 1
D1 2 D2

y D4

y se trata de una función continua ∀(x , y) ∈ D con y ≠ 2 . Se obtiene, en consecuencia, que cualquier problema de Cauchy

D3 -1 1 x

1  3  y' = (y − 2)   x2 − 1    y( x0 )...