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MATEMÁTICA II – On line - 1er PARCIAL
Curso 2008 - 28/06/08
TEMA 1 .
Geometría
1)

x − 3 y +1 z −1
=
=
2
3
4

Dadas las rectas “r” y “s” cuyas ecuaciones son: r :

y

s:

 x = 5 −2t

y = 1 − 3t se pide:
 z = 7 − 4t


a) Analizar si “r” y “s” son o no paralelas. Justificar matemáticamente la respuesta.
→

La recta “r” tiene asociado un vector u = (2 ; 3 ; 4 ) quesurge de su ecuación simétrica. En forma análoga, la recta
→

→

→

“s” tiene asociado un vector v = (− 2 ; − 3 ; − 4 ) logrado partir de su ecuación paramátrica. Como u = −1. v resultan
tenercomponentes proporcionales en consecuencia, “r” y “s” son paralelas.
b) Hallar la ecuación del plano " α" que es perpendicular a la recta “r” y además contiene al punto
A = (−5 ; 2 ; 4 ) .Representar gráficamente el plano obtenido.
Como " α" es perpendicular a “r” los coeficientes de la recta los puedo utilizar para la ecuación del plano. Así resulta: 2x + 3 y + 4z + d = 0 . Aquí nos faltaríacalcular el valor de “d”. Como el enunciado indica que contiene a

A = (−5 ; 2 ; 4 ) , este punto debe satisfacer la ecuación de " α" . Así resulta:
2.( −5) + 3.(2) + 4.( 4) + d = 0

⇒

z

d= −12 .

Así tenemos que: α : 2x + 3 y + 4 z − 12 = 0
Para graficarlo conviene expresarlo en forma segmentaria que resulta:

2x + 3 y + 4z − 12 = 0

⇒

⇒

2x + 3 y + 4z = 12

x
6

+y
4

+

z
3

3

=1

4

y

α
x

6

c) ¿La recta “s” intercepta al plano " α" del ítem anterior? En caso afirmativo hallar las coordenadas del
punto de intersección.
Sireemplazamos la ecuación de “s” en el plano " α" resulta:
2.(5 − 2t ) + 3.(1 − 3t ) + 4.(7 − 4t ) − 12 = 0 ⇒ 10 − 4t + 3 − 9t + 28 − 16 t = 12

⇒

29 = 29.t

De aquí podemos concluir que t = 1.Reemplazando este valor en la ecuación de “s” tenemos:
x = 5 − 2.1 = 3

y = 1 − 3.1 = −2 ⇒ s ∩ α = {(3 ; − 2 ; 3 )}
 z = 7 − 4. 1 = 3

2)

Dada la parábola de ecuación x 2 + 4 x = − 4 y , se...