Matematicalevi1

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Conceptos
fundamentales
de álgebra
2 CAPÍTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA
Números reales
1.1 Los números reales se usan en toda la matemática y el estudiante debe estar
familiarizado con los símbolos que los representan, por ejemplo
1, 73, !5, , 0, ,
y otros. Los enteros positivos, o números naturales, son
Los números enteros (o enteros no negativos) son los números naturalescombinados
con el número 0. Los enteros se escriben como sigue
En todo este texto, las letras minúsculas a, b, c, x, y,… representan números
reales arbitrarios (también llamados variables). Si a y b denotan el mismo
número real, escribimos a " b, que se lee “a es igual a b” y se denomina
igualdad. La notación a # b se lee “a no es igual a b”.
Si a, b y c son enteros y c " ab, entonces a y b son factores,o divisores,
de c. Por ejemplo, como
Sabemos que 1, , 2, , 3, , 6 y son factores de 6.
Un entero positivo p diferente de 1 es primo si sus únicos factores positivos
son 1 y p. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19. El
teorema fundamental de la aritmética expresa que todo entero positivo diferente
de 1 se puede expresar como el producto de números primos en una
forma y sólouna (excepto por el orden de los factores). Algunos ejemplos son
Un número racional es un número real que se puede expresar en la forma
, donde a y b son enteros y b # 0. Note que todo entero a es un número
racional, dado que se puede expresar en la forma . Todo número real se
puede expresar como decimal, y las representaciones decimales para números
racionales son finitas o no finitas y periódicas.Por ejemplo, podemos demostrar,
con el uso del proceso aritmético de la división, que
donde los dígitos 1 y 8 en la representación de se repiten indefinidamente
(a veces se escribe como ).
Los números reales que no son racionales son números irracionales. Las
representaciones decimales para números irracionales son siempre no finitas y
no periódicas. Un número irracional común, denotado por p, esla razón entre
la circunferencia de un círculo y su diámetro. A veces usamos la notación
p ! 3.1416 para indicar que p es aproximadamente igual a 3.1416.
No hay número racional b tal que b2 " 2, donde b2 denota b b, pero hay
un número irracional denotado por (la raíz cuadrada de 2), tal que
.
El sistema de números reales está formado por todos los números racionales
e irracionales. Lasrelaciones entre los tipos de números empleados en
álgebra están ilustradas en el diagrama de la figura 1, donde una línea que
enlaza dos rectángulos significa que los números mencionados en el rectángulo
más alto incluyen los del rectángulo más bajo. Los números complejos,
que se estudian en la sección 2.4, contienen a todos los números reales.
"#2 $2 " 2
#2
3.218
177
55
a%1
a%b
#3 !85
54" 1.25 y
177
55" 3.2181818 . . . ,
12 " 2 $ 2 $ 3, 126 " 2 $ 3 $ 3 $ 7, 540 " 2 $ 2 $ 3 $ 3 $ 3 $ 5.
!1 !2 !3 !6
6 " 2 $ 3 " "!2$"!3$ " 1 $ 6 " "!1$"!6$,
. . . , !4, !3, !2, !1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .
1, 2, 3, 4, . . . .
49
12 , #2 0.33333 . . . , 596.25,
En escritura técnica, el uso del símbolo
! es aproximadamente igual a
es conveniente.
1.1 Números reales 3
FIGURA 1 Tipos de números empleados en álgebra
Losnúmeros reales son cerrados con respecto a la operación de adición
(denotada por %); esto es, a todo par a, b de números reales le corresponde
exactamente un número real a % b llamado suma de a y b. Los números reales
son también cerrados con respecto a la multiplicación (denotada por );
esto es, a todo par a, b de números reales le corresponde exactamente un
número real a b (también denotado porab) llamado producto de a y b.
Importantes propiedades de la adición y multiplicación de números reales
aparecen en la tabla siguiente.
Números complejos
Números reales
Números racionales Números irracionales
Enteros
Enteros negativos 0 Enteros positivos
Terminología Caso general Significado
(1) La adición es conmutativa. El orden es indiferente cuando se suman dos
números.
(2) La adición es...