Matematicas 1º Bachillerato

MATEMATICAS
1º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a

Directorio
Tabla de Contenido
Inicio Art´
ıculo

c 2004 javier.gonzalez@unican.es
D.L.:SA-1415-2004

CIENCIAS

MaTEX
L´
ımites y
Continuidad

L´
ımites-Continuidad

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ISBN: 84-688-8267-4

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MATEMATICAS
1º Bachillerato

1. Introducci´n
o2. ¿Qu´ es un l´
e
ımite?
2.1. C´lculo de l´
a
ımites usando tablas
2.2. Algebra de los l´
ımites
3. L´
ımites laterales
4. L´
ımites Infinitos
5. L´
ımites en el Infinito
6. L´
ımites Indeterminados
7. C´lculo de l´
a
ımites Indeterminados
0
7.1. Calculo de l´
ımites 0
• Por factorizaci´n • Por el conjugado
o
∞
7.2. Calculo de l´
ımites ∞
• Por divisi´n de la mayorpotencia
o
7.3. Calculo de l´
ımites ∞ − ∞
• Se hacen operaciones • Por el conjugado
7.4. Calculo de l´
ımites a±∞
7.5. Calculo de l´
ımites f (x)g(x)
8. El n´ mero e
u
8.1. Calculo de l´
ımites 1±∞

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A

d
B
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Continuidad

Tabla de Contenido

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9. Continuidad
9.1. ¿Qu´ es una funci´n continua?
e
o
9.2.Definici´n de continuidad
o
10. Discontinuidad
10.1.Discontinuidad Evitable
10.2.Discontinuidad de salto finito
10.3.Discontinuidad de salto infinito
11. As´
ıntotas
11.1.As´
ıntota Vertical
11.2.As´
ıntota Horizontal
11.3.As´
ıntota Oblicua
12. Cuestionarios
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests

3

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1º Bachillerato
r=A+lu
A

d
B
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CIENCIASMaTEX
L´
ımites y
Continuidad

Tabla de Contenido (cont.)

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4

1. Introducci´n
o
El concepto de l´
ımite es el fundamento del c´lculo. En el siglo XIX, emia
nentes matem´ticos, Augustin-Louis Cauchy1 y Karl Weiertrass2 entre otros
a
trataron de precisar el concepto de l´
ımite. Ellos lograron dar una definici´n
o
rigurosa de l´
ımite, la definici´n −δ, queaunque la incluimos en este cap´
o
ıtulo
no es fundamental en un primer acercamiento intuitivo a dicho concepto.
El nivel de este cap´
ıtulo es adecuado para alumnos de 4o de ESO y 1o de
Bachillerato.
Se incluye en este cap´
ıtulo tambi´n el estudio del concepto de continuidad
e
de una funci´n que est´ basado en el concepto de l´
o
a
ımite.
Se incide en la aplicaci´n de los l´
oımites para la representaci´n de funciones,
o
sobre todo las racionales en el c´lculo de las as´
a
ıntotas, horizontales, verticales
y oblicuas.

1
Eminente matem´tico frances (1789-1857) que escribi´ mas de 700 art´
a
o
ıculos, y fue
pintor, abogado y escalador.
2
Eminente matem´tico alem´n (1815-1897) que precis´ la definici´n de continuidad.
a
a
o
o

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A

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CIENCIAS

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L´
ımites y
Continuidad

Secci´n 1: Introducci´n
o
o

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Secci´n 2: ¿Qu´ es un l´
o
e
ımite?

5

MATEMATICAS
1º Bachillerato
r=A+lu

2. ¿Qu´ es un l´
e
ımite?

A

l´ f (x) = L
ım

x→a

As´ decimos que l´ x2 = 1 pues cuando x → 1, x2 → 1,
ı
ım
x→1

o tambi´n decimos que l´ x2 = 4 pues cuandox → 2, x2 → 4,
e
ım
x→2

o bien decimos que l´ x3 = 125 pues cuando x → 5, x3 → 125.
ım
x→5

Hay una definici´n formal de l´
o
ımite pero por su dificultad, en este nivel
se puede prescindir de ella y trabajar de una forma intuitiva.

d
B
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L´
ımites y
Continuidad

Para una funci´n matem´tica y = f (x), en un punto x = a, la expresi´n
o
a
o
((l´ımite de f (x) cuando x es tan pr´ximo a a como queramos)) (x → a), es el
o
valor al que se aproxima la funci´n cuando el valor de x se acerca a a tanto
o
como se quiera, simb´licamente lo escribimos de la forma
o

A continuaci´n usaremos una t´cnica simple e intuitiva de calcular el
o
e
l´
ımite dise˜ando una tabla de valores para la funci´n. Vamos a verlo.
n
o

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