Matematicas 1

Buenos días Comunidad de rinconmatematico

En esta oportunidad traigo una serie de ejercicios de topología que espero que me ayuden a resolver (como son varios no lo puse como tema en la sección deejercicios)

como ya dije en anteriores intervenciones se me dificulta un poco las demostraciones, sin embargo colocaré las que crea que están bien y como escribí espero su colaboración

GraciasDefinición:

Designaremos

1)

Dados

2)

Considere el conjunto de los números naturales dotado de la topología de los complementos finítos: halle las

¿Cómo son las vecindades de unnúmero

5)

Halle cómo son las vecindades de un número real ,

a) cuando está provisto de la topología de las colas a la derecha;

b) cuando se considera con la topología usual,

c) cuandose considera con la topología de los intervalos semiabiertos a derecha (Para )

9)

Para cada

V1 Toda parte de X que contiene a una vecindad de x, es una vecindad de x.

V2 Toda intersecciónfinita de conjunto de V(x) es un conjunto de V(x)

V3 El punto x pertenece a todo conjunto de V(x)

V4 Si ,

a) Pruebe que el conjunto W de la condición (V4) es un subconjunto de V

b) Dada ;pruebe que:

i)

ii) y

iii)U vecindad de todos sus puntos.

c) Usando b), demuestre la siguiente contenencia: es el conjunto de vecindades de x que cumplen las condiciones V1 a V4 y definen latopología

12)

Sea ordenado en la forma usual; dotémoslo de la topología débil del orden

a) Halle todas las vecindades de 0, 5 y 9.

b) ¿Es en este caso la topología débil del orden iguala la topología discreta?

15)

Se dice que un espacio topológico es To o de Kolmogoroff, si para todo par de puntos distintos a, b de X, existe un conjunto W en tal que , es decir, si existe unavecindad abierta de uno de los dos que no contiene al otro punto. (Aquí " " es el conectivo o inclusivo).

a) Pruebe que con su topología usual es To

b) Pruebe que un conjunto infinito con...