Matematicas 1

MATEMÁTICAS II

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE OVIEDO


2.- ANÁLISIS (2ª PARTE).- Cálculo Integral

1.- MODELO DE PRUEBA
Dada la parábola y2 = 6x , se corta por la recta de ecuación x = 6; en los puntos de intersección se trazan las tangentes a la parábola. Se pide hallar el área del recinto limitado por la parábola y las tangentes. Justifica las respuestas.SOLUCIÓN
La parábola y2 = 6x podemos dibujarla sencillamente, sin más que escribirla de la forma: [pic] . Esta parábola, es igual que la parábola [pic] , pero teniendo en cuenta que los ejes están cambiados o dicho de otra forma, la parábola está tumbada: abre hacia la derecha).
Nuestra parábola y2 = 6x , pasará, como es evidente, por los puntos (0,0) (6,6) y (6,-6).
Sugráfica, es la que puede verse en la figura.
Para ver dónde se cortan la parábola y la recta x=6, basta
Resolver el sistema:[pic] cuyas soluciones son:
[pic] Es decir, que la parábola y la recta se
cortan en los puntos: (6,6) y (6,-6).
Encontremos ahora las tangentes a la parábola, en cada uno
de esos dos puntos.
Nuestra parábola y2=6, está en realidad compuesta por la
gráfica de dosfunciones que se pegan en el origen.
Esas dos funciones son: [pic] que corresponden a las dos ramas, la de arriba y la de abajo.
Encontremos ahora la tangente en cada uno de los dos puntos pedidos:
• Tangente a [pic] en el punto (6,6): y - 6 = m (x - 6) pero como bien sabemos, la pendiente "m", es la derivada de la función en el punto: [pic]
Se trata por tanto de la recta: [pic]es decir, [pic]
• Tangente a [pic] en el punto (6,-6): y + 6 = m (x - 6) lo mismo que antes, la pendiente de la recta "m", es la derivada de la función en el punto [pic]
Se trata por tanto de la recta: [pic]es decir, [pic]
Las dos rectas, pueden verse dibujadas en la figura. Cortan al eje de abscisas en el punto (-6,0) y como la situación es simétrica, el área que Aque nos piden, será: A= A1 + A2 = 2 A1.
A1 = [pic] [nota: [pic] es el área del triángulo PQM]
Luego el área buscada, será A = 2 A1 = 24 u2
2.- JUNIO 1994
Hallar el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y2 = 4x, el eje de ordenadas y la tangente a la parábola, paralela a la recta x - 2y + 8 = 0. Razona la respuesta.

SOLUCIÓN
La parábola y2= 4x,parecida a la estudiada en el ejercicio anterior, debemos representarla despejando [pic] (es como [pic], pero cambiando los ejes). Se trata de una parábola tumbada, que abre hacia la derecha y bastante abierta (ver dibujo).
¿En qué punto de la parábola será la recta tangente paralela
a la recta x-2y+8=0 ? Muy sencillo: en el punto en el que las
dos rectas, tengan la misma pendiente. Ahora bien,como la
pendiente de la recta x-2y+8=0 es m=1/2 (recuerda que
la pendiente de una recta viene dada por el coeficiente de
la "x" cuando despejamos "y"), se trata de encontrar el punto en
el que la pendiente de la tangente a la parábola, es decir,
la derivada, valga 1/2.
Como esa pendiente es positiva, estamos en la rama positiva de
y2= 4x . Se trata por tanto de ver en qué punto,
laderivada de la función [pic] vale exactamente 1/2.
[pic] Se trata del punto de abscisa x=4, por lo que la ordenada debe valer: [pic]. El punto buscado es P (4,4).
La tangente en ese punto, será la recta: [pic] (puede verse en la figura)
El área buscada A, que se encierra entre la recta que acabamos de encontrar, el eje de ordenadas y la parábola, es, como puede verse en la figura,la diferencia entre el área del trapecio MOPQ y el área encerrada por la parábola entre las rectas x=0 y x=4. Sin más que recordar que el área de un trapecio es igual a la suma de sus bases por la altura dividido por dos, y que el área encerrada por la parábola entre esas dos rectas es la integral definida entre cero y cuatro de la función que determina la parábola, es decir de y= [pic],...