Matematicas 1

MATEMATICAS

PRODUCTOS NOTABLES
Binomio al cuadrado
(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x) 2 − 52 = 4x2− 25
Binomio al cubo
(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 == x 3 + 9 x2 + 27 x + 27
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33=
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1=
= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x=
= x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x+ 3) (4x2 - 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3) x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
Ejercicios resueltos de productos notables
1 Desarrolla los binomios al cuadrado.
1(x + 5)2 =
= x2 + 2 · x · 5 + 52 =
= x 2 +10 x + 25
2(2x - 5)2 =
= (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 52 =
= 4x2 - 20 x + 25
2(2x - 5)2 =
= (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 52 =
= 4x2 - 20 x + 25
4

2Desarrolla los binomios al cubo.
1 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33=
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
2(x + 2)3 = x 3 + 3 · x2 ·2 + 3 · x· 2 2 + 23 =
= x3 + 6 x2 + 12 x + 8
3(3x - 2)3 = (3 x)3 − 3 · (3x)2 ·2 + 3 · 3x· 2 2 − 23 =
=27x 3 − 54x2 + 36 x − 8
4(2x + 5)3 = (2 x)3 + 3 ·(2x)2 ·5 + 3 · 2x· 52 + 5 3 =
= 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125
3Desarrolla las sumas por diferencias
1(3x - 2) · (3x + 2) =
= (3x)2 − 22 =
= 9x2 − 4
2(x + 5) · (x − 5) =
= x2 − 25
3(3x - 2) · (3x + 2) =
= (3x)2 − 22 =
= 9x4 − 4
4(3x - 5) · (3x - 5) =
= (3x) 2 − 52 =
= 9x 2 – 25
COCIENTES NOTABLES

Factoreo
* FACTOR COMÚN
1° Paso: Buscamosel factor común (que debe ser el mayor posible)
2° Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común.
Ejemplos:


* FACTOR COMÚN POR GRUPOS
Se aplica en polinomios que no tienen factor común en todos sus términos.
1° Paso: Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común,se sustrae dicho factor común en cada uno de los grupos.
2° Paso: Debe quedar un paréntesis común.
3° Paso: Se extrae dicho paréntesis como factor común.
Ejemplos:


* TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Recuerdo: “Cuadrado de un Binomio”

1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante.
Y calculo sus raíces cuadradas, dichas raícesserán las bases.
2° Paso: Luego calculo el doble producto de sus bases; y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado,
3° Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichas bases.
OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES:
* Si el dobleproducto que figura en el”Trinomio dado” es positivo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo.
* Si el doble producto que figura en el”Trinomio dado” es negativo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos.
Ejemplos:
1)

2)

* CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Recuerdo: “Cubo de un Binomio”

1°Paso: Se reconocen los cubosperfectos
Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las bases.
2° Paso:
Luego calculo:
* el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda
* el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segunda
Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomio dado,
3° Paso: Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces decimos que es...