Matematicas 1

Presentaci´
on
El grupo de profesores del Departamento de Matem´aticas de la Universidad
Tecnol´
ogica de Pereira que durante a˜
nos han venido orientando el primer curso
de matem´
aticas que deben tomar los alumnos que recien inician su vida en
la educaci´
on superior en los programas de: Ingenier´ıas, Tecnolog´ıas, Quimica
Industrial, Administraci´
on del medio Ambiente, y Licenciatura enMatem´aticas
y F´ısica; han puesto su experiencia y su conocimiento en la elaboraci´on de este
material con el objetivo de facilitar la comprensi´on y desarrollo de todos los temas
que se exponen en ´el.

Aqu´ı encontrar´
an gran cantidad de talleres con sus respuestas sistem´aticamente
presentados conforme se desarrolle el curso, ajustados completamente al contenido
de la asignatura; permitiendo que elalumno avance hacia la consecuci´on de las
habilidades y competencias necesarias que le dar´an la solidez matem´atica para
afrontar con solvencia las diferentes asignaturas que requieran de unas buenas bases
matem´
aticas.

Es de recalcar que los talleres aqu´ı planteados requieren fundamentalmente tan
solo de los elementos te´
oricos que el docente entregar´a en cada clase, siendo esto
ventajosodado que le evita al alumno el gasto asociado a la compra de un texto
gu´ıa.

Finalmente se han agregado unos temas al inicio de este libro y corresponden en gran
medida a los t´
opicos fundamentales que cualquier alumno debe manejar con soltura
para poder dar inicio con responsabilidad al desarrollo de ejercicios y problemas
propuestos en este material que hemos denominado Talleres deMatem´aticas I

Profesores Matem´
aticas I

Departamento de Matem´aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I

1 Preliminares
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9

El sistema de los n´
umeros reales
El orden y la recta num´erica
Valor absoluto
Exponentes y leyes de exponentes enteros
Exponentes racionales
Expresiones algebr´aicas
Ecuaciones e inecuaciones en una variable
Ecuaciones de segundo grado con unaincognita
Secciones c´onicas

1.1. El sistema de los n´
umeros reales
Empezaremos con algunos de los conjuntos b´asicos de n´
umeros con los que ya
est´a familiarizado:
Los n´
umeros naturales

N = {1, 2, 3, 4, ...}

Los n´
umeros enteros

Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

Los n´
umeros racionales

Q=

p
| p, q ∈ Z, q = 0
q

El n´
umero asociado con la recta num´erica se llama coordenada delpunto.
Los n´
umeros enteros se pueden representar en una recta de la siguiente forma:
1. Elige un punto cualquiera de la recta. As´ıgnele el valor 0.
2. Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y as´ıgnele el valor 1.
La distancia entre ambos puntos ser´a la unidad de medida de longitud. Si marcas
esa unidad de medida a la derecha del 1, el punto representado es el 2. Haciendo lo
mismo a laderecha del 2, obtienes el 3. Y as´ı sucesivamente representas todos los
n´
umeros naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, .....

1

Departamento de Matem´
aticas - UTP - Talleres de Matem´aticas I

Si marcas la unidad de medida a la izquierda del 0, obtienes los n´
umeros negativos
-1, -2, -3, -4, -5, -6, . . . Este conjunto se denomina n´
umeros enteros

Figura 1: N´
umeros enteros

Los n´
umerosracionales se asocian con puntos sobre la recta num´erica. Para
representar el n´
umero 2,5 que es un n´
umero comprendido entre 2 y 3, dividimos el
segmento entre los n´
umeros 2 y 3 en 10 partes iguales. Tomamos 5 de esas partes
contando a la derecha desde el 2.
Despu´es de asociar cada n´
umero racional con un punto de la recta num´erica,
nos encontramos que todav´ıa faltan puntos por asociar. Estos n´umeros que no
corresponden a ning´
un n´
umero racional se llaman n´
umeros irracionales I.
1
Los decimales finitos como por ejemplo
= 0.25 y los decimales peri´odicos como
4
1
= 0.3333¯
3 representan n´
umeros racionales.
3
Es un hecho que los decimales que no son finitos ni peri´odicos no son n´
umeros
racionales. En otras palabras, un decimal de este tipo no se puede representar como
el...