Matematicas 2º

Tema 4: Los vectores en el espacio
1. El conjunto R3
Este conjunto está formado por todas las ternas de números reales (x, y, z)

2. Vectores fijos
Un vector es un segmento orientado que parte de A (origen) y llega hasta B (extremo) Módulo: longitud del vector ������������ Dirección: dirección de la recta que pasa por A y B Sentido: recorrido de la recta de A a B

Dos vectores sonequipolentes (y equivalentes) si tienen mismo módulo, dirección y sentido. Un vector libre es cada clase de equivalencia que representa a todos los vectores equipolentes. Se designa por ������������ o ������ . El conjunto de todos los vectores libres se denomina V3.

3. Operaciones con vectores
Mirar p. 107 si eso

4. Dependencia e independencia lineal de vectores
Dos vectores son linealmentedependientes si tienen la misma dirección. Tres lo son si son coplanarios. No pueden existir más de 3 vectores linealmente independientes. Matemáticamente diremos que un vector es combinación lineal de otros si puede expresarse como la suma de las multiplicaciones de los otros vectores por números reales.

5. Bases de V3 y componentes de un vector
Tres vectores linealmente independientes forman unabase de V3 de 3ª dimensión, y cualquier otro vector de V3 se podrá expresar en función de estos. (x, y, z) son las componentes de un vector si se verifica que: La base canónica (u ortonormal) es la de toda la vida, de x, y, z. ������ = ������ · ������1 + ������ · ������2 + ������ · ������3

6. Más operaciones con vectores
Mirar p. 109 del libro si eeeeso.

7. Rango, dependencia eindependencia lineal
Podemos formar una matriz con vectores para analizar su dependencia lineal. El rango de esta matriz nos dará el número de vectores linealmente independientes.

8. Producto escalar de dos vectores libres
8.1 Definición:
El producto de ������ · ������ es: ������ · ������ · cos⁡ , ������ ) (������ El resultado obtenido es un número real, cuyo signo dependerá del resultado del coseno.Además, cabe mencionar que, de los dos ángulos que forman los vectores al estar unidos por su origen, ambos tienen el mismo coseno, por lo que daría igual cuál se coja.

8.2 Propiedades:
1.- El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de su módulo ������ · ������ = ������ 2.- El producto escalar es conmutativo ������ · ������ = ������ · ������ 3.- Homogénea: ������ ������ ·������ = ������������ · ������
2

4.- Distributiva respecto de la suma de vectores: ������ · ������ + ������ = ������ · ������ + ������ · ������ *.- Por todas estas propiedades, se llama espacio vectorial euclídeo al par (������ 3 ,· )

8.3 Expresión Analítica:
Sea ������ = ������������ , ������������ , ������������ una base, y ������ ������ ������ dos vectores cualesquiera, se tiene:������ = ������������1 + ������������2 + ������������3 ������ = ������′������1 + ������′������2 + ������′������3 Y la expresión del producto escalar resulta: ������ · ������ = ������������ ′ ������1 · ������1 + ������������ ′ ������1 · ������2 + ������������ ′ ������1 · ������3 + ������������ ′ ������2 · ������1 + ������������ ′ ������2 · ������2 + ������������ ′ ������2 · ������3 + ������������ ′ ������3 ·������1 + ������������ ′ ������3 · ������2 + ������������ ′ (������3 · ������3 ) Si la base es ortogonal, la expresión del producto vectorial es la siguiente: ������ · ������ = ������������ ′ ������1 · ������1 + ������������ ′ ������2 · ������2 + ������������ ′ (������3 · ������3 ) Si la base es ortonormal, la expresión es: ������ · ������ = ������������ ′ + ������������ ′ + ������������ ′

8.4 Interpretacióngeométrica
El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de ������ por la proyección de ������ sobre ������, o viceversa.

8.5 Aplicaciones del producto escalar
Módulo de un vector ������ = Ángulo de dos vectores ������, ������ = ������������������ −1 ������ · ������ ������ · ������ = ������������������ −1 ������ · ������ ′ + ������ · ������ ′ + ������ ·...