Matematicas 3

5.3 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES

Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de calcular en forma polar que en forma rectangular. Esto es especialmente cierto para regionescirculares, en forma de cardioide o de pétalo de curvas rosas y para integrandos donde aparezca x2+y2.

Por lo tanto se puede esperar que las integrales dobles sobre regiones encerradas por dichascurvas, sean más fáciles de evaluar usando coordenadas polares.

Para ello se utiliza la siguiente expresión:

Recordatorio: la relación entre las coordenadas polares r,θ y las coordenadasrectangulares x,y de un punto a saber es:

x=rcosθ e y=r sen θ

r2=x2+y2 y tg θ=y/x

La formula dice que transformamos de coordenadas rectangulares a coordenadas polaresen una integral doble; si escribimos y , usando los limites apropiados de integración para y .

Ejemplo: Utilice una integral doble para hallar el área interior a una hoja de la rosa de cuatropétalos cuya función es . La hoja está dada por la región: , .EJEMPLO 2: usar coordenadas polares para calcular el volumen del solido limitado por el hemisferio.
z=16-x2-y2 Hemisferio superior.

Y por abajo por la región circular R dada por
x2+y2≤4Región circular inferior.

Veremos qué R tiene cotas: -4-y2≤x≤4-y2 -2≤y≤2
Y que 0≤z≤16-x2-y2 en coordenadas polares las cotas son:
0≤r≤2 y 0≤θ≤2π
Con altura z=16-x2-y2 = 16-r2 enconsecuencia, el volumen V viene dado por
V=Rfx,ydA=02π0216-r2r dr dθ

-1302π16-r23220 dθ=1302π243-64 dθ

-8333-8θ2π0=16π/3(8-33)

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Ejemplo 3. Calcular la siguiente integral doble en...