Matematicas 3

Matemáticas 3
Ecuaciones Lineales
Una ecuación lineal es una ecuación de primer grado con 2 incógnitas cuya forma general es:
“aX + bY + c = 0”
“a, b, c” son constantes reales, “X, Y" son variables. Toda ecuación lineal graficada es una línea recta.
Grafica la expresión “2X – 3Y – 12 = 0”


2X – 3Y -12=0
2X - 3(0) - 12=0
2X = 12
X = 12 / 2
X = 6
2(0) – 3Y -12 = 0
-3Y =12
Y = 12 / -3
Y = -4


Función Lineal
La función lineal está definida por la ecuación:
f(x) = mX + b
Dónde:
f(x) =Y
m= pendiente de la recta
b= ordenada al origen (intersección en el eje “Y “ )
Además “m, b" son constantes reales
Ejemplo:
Indica el valor de la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuación es: -7X - Y + 21 = 0

-7X -Y + 21 = 0
-Y = 7X– 21
Y = 7X – 21 / -1
Y = -7X + 21
m = -7
b = 21

indica el valor de la pendiente y la ordenada al origen de la ecuación :
4x – ½ y + 2/5 = 0
- ½ Y = -4X - 2/5
Y = ( -4X -2/5 ) / - ½
Y = 8X + 4/5
m = 8
b = 4/5




Pendiente
La pendiente (m) indica cuantas unidades cambia la ordenada cuando “X” aumenta una unidad.
Para encontrar la pendiente de una recta que pasa por2 puntos se utiliza la ecuación
m = Y2 – Y1 / X2 – X1

Encuentra la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

P1 (1 , - 4)
P2 ( 5 , 4 )
m= 4 – ( -4) / 5 – 1
m= 4 + 4 / 5 – 1
m= 8/4
m= 2

Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales esta formado por 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas; los métodos de resolución son 2:
1 Método grafico: segrafican las 2 ecuaciones en el mismo plano cartesiano; el punto de intersección de ambas líneas será el punto solución del sistema. Si las líneas fueran coincidentes, entonces el sistema tiene una infinidad de soluciones; si las líneas fueran paralelas entonces el sistema no tiene solución y se le llama sistema inconsistente.
2 Método algebraico: existen 2 métodos el de “suma o resta” y el de“sustitución”

Resolución del sistema de ecuaciones por el método de suma o resta
X + Y – 2 = 0
X – Y – 4 = 0
Eliminamos Y dado que tienen el mismo valor pero signo diferente y nos queda
2X – 6 = 0
2X = 6
X = 6/2
X = 3
Sustituimos “X” en cualquier ecuación
3 + Y – 2 = 0
Y = - 3 + 2
Y = - 1
( X , Y ) = (3 , -1)

Resuelve el siguiente sistema por el método de suma o resta3X + 2Y – 6 = 0
X – 2Y – 10 = 0
4X – 16 = 0
4X = 16
X =16/4
X = 4
3(4) + 2Y – 6 = 0
12 + 2Y – 6 = 0
2Y= -12 + 6
2Y = - 6
Y = -6 / 2
Y = -3
(X , Y) = (4 , - 3)
Resolución del sistema de ecuaciones por el método de substitución
3X + 2Y = 5 ….(1)
X + 3Y = 4 ….(2)
Despejamos “X” de la ecuación (2) (por ser la mas simple)
X + 3Y = 4
X = 4 – 3y ….(3)
Sustituimos“X” en la ecuación (1) (no puede ser en la misma que se despejo)
3 ( 4 – 3Y) + 2Y = 5
12 – 9Y + 2Y = 5
12 – 7Y = 5
- 7Y = 5 – 12
-7Y = -7
Y = -7 / -7
Y = 1



Sustituimos “Y” en la ecuación (3)
X = 4 – 3(1)
X = 4 – 3
X= 1

Ejercicio
El perímetro de un rectángulo mide 26 metros y uno de sus lados es 3 metros mas largo que el otro. ¿Cuales son sus dimensiones?

2X + 2Y = 26X = 3 + Y
2(3 + Y) + 2Y = 26
6 + 2Y +2Y = 26
6 + 4Y = 26
4Y = 26 – 6
4Y= 20
Y = 20 / 4
Y = 5
Una vez encontrado “Y” lo sustituimos para encontrar “X”
X = 3 + 5
X = 8

Resolución de sistemas de ecuaciones con 3 variables
2X – 3Y + Z = -1 …(1)
X + 2Y + Z = 2 …(2)
-5X + 2Y- 3Z = -2 …(3)
Utilizando ecuación (1) y (2)
Invertimos todos los signos de la ecuación (2)para poder eliminar “Z”
2X – 3Y + Z = -1
-X – 2Y – Z = -2
X – 5Y = -3 ….(4)
Utilizando ecuación (2 ) y (3)
Multiplicamos la ecuación (2) por el valor de Z en la ecuación (3)
3X + 6Y + 3Z = 6
-5X + 2Y – 3Z = -2
-2X + 8Y = 4 …(5)

Ocupamos ecuación (4) y (5)
Multiplicamos la ecuación (4) por el valor de X en la ecuación (5)
(2)X – 5Y = -3
-2X + 8Y = 4
2X – 10Y = -6...