Matematicas 3

INTRO. FUNCIONES. LÍMIT. Este capítulo puede considerarse como una prolongación y extensión del anterior, límite de sucesiones, al campo de las funciones. Se inicia recordando el concepto de función y dando algunas nociones básicas sobre funciones, para dar paso al estudio del límite de una función, cálculo de límites de funciones y continuidad. En este tema la intuición juega un papeldefinitivo. Se ha procurado evitar en lo posible las formalizaciones rigurosas, ya que muchas veces formalizar lo que intuitivamente está claro no aporta más claridad . De los tres conceptos que se estudian es este capítulo, funciones, límites y continuidad, el primero y el último son muy sencillos de comprender. Las funciones están presentes en la vida cotidiana: «espacio que recorre un móvil en funcióndel tiempo», «crecimiento de una planta en función del tiempo», «coste de cierto papel en función de la cantidad», «aumento o disminución de la temperatura del agua en función del tiempo», ... Una línea continua es una línea que no se corta, que no se rompe, que se puede dibujar en un papel sin levantar el lápiz. La representación gráfica de una función continua es una línea continua. El concepto delímite de una función es algo más complejo, a pesar de explicarse como un paso intermedio entre las funciones y la continuidad. CONCEPTO DE FUNCIÓN Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función definida en el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le asigna uno y sólo un elemento de I.

El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjuntoorigen, conjunto inicial, dominio de la función, o campo de existencia de la función, y se representa por Dom(f ). Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra x, y es la variable independiente. Cada elemento x de D tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de I que se representa por y y es la variable dependiente. Esto se expresa escribiendo y = f(x). El conjunto Ies el conjunto final y los elementos que son imagen de algún elemento de D forman el conjunto imagen (Im(f )) o recorrido de la función (f(D)).

1

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento yde R:

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar: · El conjunto inicial o dominio de la función. · El conjunto final o imagen de la función. · La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen. Así, por ejemplo, la función definida por:

asigna a cada número real su cuadrado. Tiene por conjunto origen o campode existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real. Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

La regla de asignación es «dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen». Ejemplo: cálculo decampos de existencia de una función

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Hallar el campo de existencia de la función f definida por

Resolución:

Name=1; HotwordStyle=BookDefault;

2

· La función anterior asigna a cada número x, el valor

El campo de existencia está formado por todos los números reales x, para los que su imagen estádefinida mediante la función f.

aquellos que anulen el denominador, puesto que la expresión 1/0 no es un número real. El denominador x − 2 se anula cuando x = 2. Por tanto, el campo de existencia de la función es R − {2}. Su representación mediante intervalos es C.E. = (−¥, 2) È (2, +¥)

Resolución:

Name=2; HotwordStyle=BookDefault;

cero, puesto que las raíces cuadradas de los números...