Matematicas 4 algebra lineal

|Índice |Pag. |
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|Introducción |3 |
|5. Transformaciones lineales |4 |
|5.1 Definición detransformación lineal y sus propiedades |4 |
|5.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación) |7 |
|5.3 Definición del núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal |11 |
|5.4 La matriz de una transformación lineal yrepresentación matricial de una transformación lineal |13 |
|5.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales |15 |
|5.6 Algebra de las transformaciones lineales |19 |
|5.7 Aplicación de las transformaciones lineales.|19 |
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|Conclusión | |
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Introducción

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funcionesse llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con muchafrecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuacioneslineales.

5. Transformaciones lineales

5.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades

Definición.   Sean  V  y  W  espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal  de V  en  W, es una función  [pic][pic] tal que:
i)   [pic][pic],  [pic][pic].
           ii)   [pic][pic],  [pic][pic],  [pic][pic].
En otras palabras, una transformación lineal es unafunción que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Observaciones:
i) Si  [pic][pic] es una transformación lineal, entonces  [pic][pic].
En efecto [pic][pic]. Por la ley de la cancelación en W, tenemos que [pic][pic].
Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva  (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.
ii)...