Matematicas 4 eso sm unidad 3

3 ECUACIONES Y SISTEMAS

E J E R C I C I O S

3.1 Resuelve las siguientes ecuaciones.
x
x
a) —— ؉ —— ‫ ؍‬20
4
6

2x ؉ 3
7x ؊ 5
c) —— ؉ —— ‫ ؍‬7
3
4
2(x ؊ 1)
3(2 ؊ x)
d) 1 ؊ —— ‫—— ؍‬
5
2

x
2
x؊1
b) —— ؊ 1 —— ؊ —— ‫ ؍‬2x
4
3
2

΂

P R O P U E S T O S

΃

x
x
a) ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ 20
4
6
M.c.m. de los denominadores 4 y 6: 12
Se multiplica la ecuación por 12: 3x ϩ2x ϭ 240
Se reducen términos semejantes: 5x ϭ 240
Se divide por 5: x ϭ 48.
x
2
xϪ1
xϪ4 2
xϪ1
b) ᎏᎏ Ϫ 1 ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ 2x ⇒ ᎏᎏ и ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ 2x
4
3
2
4
3
2
xϪ4 1
xϪ1
xϪ4
xϪ1
Se simplifica: ᎏᎏ и ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ 2x ⇒ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ 2x
2
3
2
6
2
Se multiplican por 6 la ecuación: x Ϫ 4 Ϫ 3x ϩ 3 ϭ 12x
Se reducen términos semejantes: Ϫ1 ϭ 14x
1
Se divide por 14: x ϭ Ϫᎏᎏ
14

΂

΃

2x ϩ 37x Ϫ 5
c) ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ 7
3
4
M.c.m. los denominadores 3 y 4: 12
Se multiplican la ecuación: 8x ϩ 12 ϩ 21x Ϫ 15 ϭ 84
Se reducen términos semejantes: 29x ϭ 87
Solución: x ϭ 3
2(x Ϫ 1)
3(2 Ϫ x)
d) 1 Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
5
2
2x Ϫ 2
6 Ϫ 3x
16
1 Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ 10 Ϫ 4x ϩ 4 ϭ 30 Ϫ 15x ⇒ 11x ϭ 16 ⇒ x ϭ ᎏᎏ
5
2
11
3.2 Calcula la solución de estas ecuaciones.
c) ؊x 2 ؉ 2x ‫ ؍‬0
a) x 2 ؊ 10x ؉ 24 ‫ ؍‬3
2d) x(2x ؊ 5) ‫ ؍‬6 ؊ x
b) 5x ؊ 9x ؉ 4 ‫ ؍‬0
a) x 2 Ϫ 10x ϩ 24 ϭ 3 ⇒ x 2 Ϫ 10x ϩ 21 ϭ 0

(Ϫ10)2ෆ
Ϫ 4 и 1ෆ
и 21
10 Ϯ ͙ෆ
10 Ϯ 4
10 Ϯ ͙16
ෆ ϭᎏ
x ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
ᎏϭ
2и1
2
2

Ό

2
1
9 Ϯ ͙(Ϫ9)
Ϫ4ෆ
и5и4
9Ϯ1
ෆ
x ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 8
4
2и5
10
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
10
5
c) Ϫx 2 ϩ 2x ϭ 0 ⇒ x(Ϫx ϩ 2) ϭ 0; x ϭ 0 ó x ϭ 2

b) 5x 2 Ϫ 9x ϩ 4 ϭ 0

d) x(2x Ϫ 5) ϭ 6 Ϫ x ⇒ 2x 2 Ϫ 5x ϭ 6 Ϫ x ⇒ 2x 2 Ϫ 4x Ϫ6 ϭ 0 ⇒ x 2 Ϫ 2x Ϫ 3 ϭ 0
Ϫ4ෆ
и 1 и (ෆ
Ϫ3) 2 Ϯ 4
2 Ϯ ͙(Ϫ2)
ෆ
x ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ
2
2
2

Ό Ϫ1
3

e) 2x Ϫ 6 ϭ 2x(x ϩ 2) ⇒ 2x Ϫ 6 ϭ 2x 2 ϩ 4x ⇒ 2x 2 ϩ 2x ϩ 6 ϭ 0 ⇒ x 2ϩ x ϩ 3 ϭ 0
2
Ϫ1 Ϯ ͙1ෆ
Ϫ 4 иෆ
1и3
1 Ϯ ͙Ϫ11
ෆ
x ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏ
ᎏ
2и1
2

No tiene solución.

f) x 2 Ϫ 9 ϭ Ϫ2x 2 ⇒ 3x 2 ϭ 9 ⇒ x 2 ϭ 3 ⇒ x ϭ Ϯ͙3ෆ
58

e) 2x ؊ 6 ‫ ؍‬2x(x ؉ 2)
f) x 2 ؊ 9 ‫ ؍‬؊2x 2

Ό 73

3.3 Resuelvelas siguientes ecuaciones.
a) x 4 ؊ 5x 2 ؉ 4 ‫ ؍‬0
b) x 6 ؊ 10x 3 ؉ 9 ‫ ؍‬0
c) x 4 ؊ 26x 2 ‫ ؍‬؊25

d) x 6 ؊ 64x 3 ‫ ؍‬0
e) 4x 2 ؉ 8x ‫ ؍‬0
f) 3x 3 ؊ 12x 2 ؉ 12x ‫ ؍‬0

a) x 2 ϭ z; x 4 ϭ z 2 ⇒ z 2 Ϫ 5z ϩ 4 ϭ 0
2
5 Ϯ ͙(Ϫ5)
Ϫ4ෆ
и1и4
5Ϯ3
ෆ
z ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ
2и1
2

Ό

4 ⇒ x 2 ϭ 4 ⇒ x ϭ Ϯ2
1 ⇒ x 2 ϭ 1 ⇒ x ϭ Ϯ1

b) x 3 ϭ z; x 6 ϭ z 2; z 2 Ϫ 10z ϩ 9 ϭ 0
Ϫ 4 и 1ෆ
и9
10 Ϯ ͙(Ϫ10)10 Ϯ 8
ෆ2ෆ
z ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ
2 и1
2

Ό

3

9 ⇒ x 3 ϭ 9 ⇒ x ϭ ͙9ෆ
1 ⇒ x3 ϭ 1 ⇒ x ϭ 1

c) x 2 ϭ z ⇒ x 4 ϭ z 2; z 2 Ϫ 26z ϩ 25 ϭ 0

Ό

26 Ϯ ͙ෆ
(Ϫ26)2ෆ
Ϫ 4 и 1ෆ
и 25
26 Ϯ 24
z ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ
2и1
2

25 ⇒ x 2 ϭ 25 ⇒ x ϭ Ϯ5
1 ⇒ x 2 ϭ 1 ⇒ x ϭ Ϯ1

d) x 3(x 3 Ϫ 64) ϭ 0 ⇒ x 3 ϭ 0 ⇒ x ϭ 0 ó x 3 ϭ 64 ⇒ x ϭ 4
e) 4x(x ϩ 2) ϭ 0 ⇒ x ϭ 0 ó x ϭ Ϫ2

2
4 Ϯ ͙(Ϫ4)
Ϫ4ෆ
и1и4
4Ϯ0
ෆ
f) 3x(x2 Ϫ 4x ϩ 4) ϭ 0 ⇒ x ϭ 0 ó x ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 2 ⇒ Raíz doble
2и1
2

3.4 Halla las soluciones de estas ecuaciones.
a) x 3 ؉ 2x 2 ؊ x ؊ 2 ‫ ؍‬0
b) x 3 ؊ 6x 2 ؉ 3x ؉ 10 ‫ ؍‬0
a) 1 1 2 Ϫ1 Ϫ2
1 1 1 Ϫ3 Ϫ2
1 1 3 Ϫ2 Ϫ0

P(x) ϭ (x Ϫ 1)(x 2 ϩ 3x ϩ 2)
2
Ϫ3 Ϯ ͙3ෆ
Ϫ 4ෆ
и1и2
Ϫ3 Ϯ 1
Ϫ1
x ϭ ᎏᎏᎏ
ϭ ᎏᎏ ϭ
2и1
Ϫ2
2

Ό

Soluciones: x ϭ 1, x ϭ Ϫ1 y x ϭ Ϫ2
b)

1 1 Ϫ6 3 Ϫ10
Ϫ1 1 Ϫ1 7 Ϫ10
1 1 Ϫ710 Ϫ0

P(x) ϭ (x ϩ 1)(x 2 Ϫ 7x ϩ 10)
2
7 Ϯ ͙(Ϫ7)
Ϫෆ
4 и 1 иෆ10
7Ϯ3
ෆ
x ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ
2и1
2

Ό2
5

Soluciones: x ϭ Ϫ1, x ϭ 2 y x ϭ 5

3.5 Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones racionales.
2
2؊x
a) —— ؊ —— ‫ ؍‬1
x
x؉3
x
2
b) —— ؉ —— ‫ ؍‬3
x؉1
x؉2
2(x ϩ 3)
(2 Ϫ x)x
x(x ϩ 3)
a) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ 2x ϩ 6 Ϫ 2x ϩ x 2 ϭ x 2 ϩ 3x ⇒ 3x ϭ 6 ⇒ x ϭ 2
x(x ϩ 3)
x(x ϩ3)
x(x ϩ 3)
x(x ϩ 2)
3(x ϩ 1)(x Ϫ 2)
2(x ϩ 1)
b) ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ x 2 ϩ 2x ϩ 2x ϩ 2 ϭ 3x 2 ϩ 9x ϩ 6 ⇒ 2x 2 ϩ 5x ϩ 4 ϭ 0
ϩ
2)
(x
ϩ
1)
(x
(x ϩ 1)(x ϩ 2)
(x ϩ 1)(x ϩ 2)
2
Ϫ5 Ϯ ͙5ෆ
Ϫ 4ෆ
и2и4
Ϫ5 Ϯ ͙Ϫ7
ෆ ⇒ No existe solución.
x ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
2и2
4

59

3.6 Resuelve estas ecuaciones radicales.
x 2 ؉ 5ෆ
x؉1‫؍‬x؉2
͙ෆ
b) ͙ෆ
40 ؊ ෆ
x2 ؉ 4 ‫ ؍‬x
c) ͙2x
؊1
؉4‫؍‬6
ෆ
ෆ ؉ ͙xෆ
d)...