Matematicas 5 Serires De Furier

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPRIOR DE LA REGION SIERRA |
UNIDAD 5 MATEMATICAS V |
SERIES DE FURIER |
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GUSTAVO ADOLFO TURRUBIARTE TORRES 7° SEMESTRE DE ING. ELECTROMECANICA |
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CATEDRATICO: ING. EDUARDO DE LA FUENTE Narváez
CATEDRATICO: ING. EDUARDO DE LA FUENTE Narváez

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5.1 Funciones Ortogonales
 
En matemáticas superiores se considera que una función esla generalización de un vector. En esta sección veremos cómo los dos conceptos vectoriales de producto interno (punto) y ortogonalidad se pueden ampliar para abarcar las funciones. Supongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional. El producto interno (u, v) de los vectores, que también se escribe u. v, posee las propiedades siguientes:
(u,v)=(v,u)
(ku, v) = k(u, v), donde k es unescalar
(u, u) = 0, si u = 0, y (u, u) > 0 si u f 0
(u + v, w) = (ll, w) + (v, w).
 
Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe tener las mismas propiedades.
Producto interno Supongamos ahora que fi yf2 son funciones definidas en un intervalo
[U, b].* Como una integrar del producto fi(x) fi(x) definida en el intervalo también posee las propiedades i) aiv), siempre y cuando existan las integrales, podemos enunciar la siguiente definición:
 
Funciones ortogonales Dado que dos vectores u y v son ortogonales cuando su producto interno es cero, definiremos 1aS funciones ortogonales en forma semejante:

A diferencia del análisis vectorial, en donde la palabra ortogonal es sinónimo de “perpendicular”, en el presente contexto el término ortogonal y lacondición (1) no tienen significado geométrico.

5.2.- Conjuntos Ortogonales y Conjuntos Ortonormales
Nos interesan principalmente los conjuntos infinitos de funciones ortogonales.
Un conjunto de funciones de valor  real
 
Es ortogonal en un intervalo [a, b] si

La norma o longitud  u de un vector se puede  expresar  en términos del producto interno  concretamente  o bien . La norma o longitudgeneralizada de una función  es  , es decir

 
 
 
 
 
 
se llama norma cuadrada de  Si.  es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo [u, b] y tiene la propiedad que para  n = 0, 1,2, . , . , se dice que  es un conjunto ortonormal en el intervalo.
Ejemplo

Vamos a establecer una analogía más entre vectores y funciones. Suponga que VI, v2 y vg son tres vectores no cero,ortogonales entre sí en el espacio tridimensional. Ese conjunto ortogonal se puede usar como una base para el espacio en tres dimensiones; esto es, cualquier vector tridimensional se puede escribir en forma de una combinación lineal u = ClVl + c2v2 + c3v3, (4) en donde las ci, i = 1,2,3, son escalares y se llaman componentes del vector. Cada componente ci se puede expresar en términos de u y del vectorVi correspondiente. Para comprobarlo tomaremos el producto interno de (4) por VI 

 
 
 
En forma semejante podemos comprobar que los componentes c2 y c3 se pueden expresar como sigue

 
 
Entonces, la ecuación (4) se puede escribir en la siguiente forma:

 
 
 

5.3 Definición Serie de Fourier
 
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una funcióncontinua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste JosephFourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de...