Matematicas 5

UNIDAD 1

DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL

Es una ecuación que tiene una función desconocida y una o más de sus derivadas. El manejo de estas ecuaciones tienen los siguientes fines.

1.- plantear la ecuación diferencial que describe un problema físico.
2.-encontrar la solución apropiada para esa ecuación

El siguiente diagrama representa la formulación de un modelo matemáticoInterpretación
Problema físico

Resultados
Análisis matemático
Modelo matemático
matematico
Formulario

Dif. Integración

Y= f(x) +c – solución general
Y= f(x) +c – solución particular

CONDICIONES INICIALES (VALORES A LA FRONTERA)
Si para la ecuación diferencial se conocen las condiciones “valores” iniciales llamado también valores a frontera es posible calcular los valores de lasconstantes arbitrarias de la solución particular a fin de obtener una solución de carácter particular.

Determinación de constantes o valores iniciales
Una partícula en movimiento en línea recta parte desde el origen con una velocidad de 12 m/s y con una aceleración

A=2t2 +3t

Determine la ecuación diferencial y sus valores de la frontera o condiciones iniciales.
X”= 2t2 + 3t ec-difX(0) =0
T=0
X’(0)=12
T=0
Solución particular
Y” + 4y /12x
Y= C1cos2x + C2sen2x + 3x – solución General
Y(0)=5 y’(o)=7 C1y(0) y=5cos2x + 2sen2x + 3x – solución particular
Y=5 x=0
5=C1cos2(0)+C2sen2(0)+3(0)
C1=5
Y’=7 x=0
Y’=c1-sen2x+2C2cos2x+3
7=-2c1sen2(0)+2C2cos2(0)+3
+2c2+3
7=2C2+3
7-3=2C2
4=2C2
C2= 42 =2

I.- introducción a la ecuación diferencial
Y”-2y’-3y=4ex-9
Sila solución es:
Y=c1e3x+c2e-x-ex+3

Y(0)=0 y’(0)=-2
0=C1e3(0)+C2e0-e0+3
0=C1+C2-1+3
0=C1+C2+2
C1+C2=-2

Y’=3C1e3x-c2e-x-ex
Y’=2 x=0
-2=3C1e3(0)-c2e-(0)-e(0)
-2=3c1-c2-1
-2+1=3c1-c2
-1=3c1-c2

11 3-1 -1-2

C1= -21-1-1113-1=2+1-1-3= 3-4 =-34

C2=1-23-1-4 =-1+6=5-4= -54

Y= -34 e3x--54-ex+3 solución particular

Encontrar la ecuación diferencial para el siguienteproblema

Se desea analizar con respecto al tiempo el comportamiento de la carga de un capacitor y la corriente que fluye por un circuito conectando en serie los siguientes elementos una resistencia de 100Ω, un capacitor de I.O.F. y una bobina de 20v y al que se le aplica un voltaje de 12 volts de corriente directa.

Considere: VR=1r I amperes(A)
Vc=1c QR ohms(Ω)
VL=didt C faradios (F)
Q coulumbs (Q)
Condiciones iníciales
T= 0 seg Q=0 I=0

Aplicando ley de kirohoft
Vt=V1+V2+V3 (1) I=amperes=cs
Vt= IR+ic Q+Ldidt 1A=10s
V(t)=IR+ic Q+LQ” 2A=2cs12=Q’100+10.01 Q+20Q” X Q
20Q”+100Q’+100Q=12 ms X’ I=Q’
I’=Q”

Analizar el siguiente sistema masa resorte y amortiguador y plantear su ecuación diferencial (auxíliese en la 2da ley de newton)

Fs = fuerza ejercida por el resorte
FR= fuerza ejercida por el amortiguadorFs= -Kx (Kcte del resorte, x deformación resorte)
FR= -cv (c cte amortiguador, v velocidad desplazamiento)

Aplicando 2da ley de newton

∑F=ma
Fs + Fr/0a
-kx-cv-mx”=0
Kx+cx’+mx”=0
Mx”+cx+ks=0

Ecuaciones diferenciales de primer orden
Tiene la forma:
M(x,y)dx+n(x,y)dy=0
M(x,y)=3x2y
N(x,y)=3x3

Clasificación:
Para los efectos de aplicación del método de solución se clasifican en:* Variables separables y reducibles a variables separables
* Ecuación exactas y reducibles a exactas
* Ecuaciones lineales y reducibles a lineales

Variables separables


Transformación
A1x-a2b1=t
Que convierte a la ecuación separable

Ab2-a2b1=0
La transformación
X=x’+h
Y=y’+k
Convierte la ecuación en homogenea

(a,x+b,y+c)dx + (a2x+b2y+(2)dy=0
Ecuación...