Matematicas 5

15/12/2009
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instituto tecnológico superior de champotón | ANTOLOGIA DE LAS UNIDADES 5 Y 6 |

ALUMNO: Materia: Matemáticas 4 Ing. Sistemas computacionales
PROFESOR: Ing. Bernardo Cosgaya Barrera

Unidad 5 Transformaciones Lineales
* 5.1 Definición Transformación Lineal y sus propiedades
* 5.2 Ejemplos Transformaciones Lineales ( reflexión, dilatación, contracción,rotación)
* 5.3 Definición Núcleo Kernel Transformación Lineal , e imagen de una transformación lineal
* 5.4 La Matriz De Transformación Lineal y representación matricial de una transformación lineal
* 5.5 Transformaciones Y Sistemas Ecuaciones Lineales
* 5.6 Algebra De Transformaciones Lineales
* 5.7 Aplicaciones, transformaciones lineales
Unidad 6 Valores y VectoresCaracterísticos
* 6.1 Definicion Valores Vectores Característicos Matriz Cuadrada
* 6.2 Polinomio Y Ecuación Característica
* 6.3 Determinación Valores Vectores Característicos Matriz Cuadrada
* 6.4 Diagonalizacion Matrices Potencias Y Raíces De Matrices
* 6.5 Diagonalizacion Matrices Simétricas,
* Diagonalizacion Ortogonal
* 6.6 Formas Cuadráticas
* 6.7 TeoremaCayley Hamilton

Unidad 5 Transformaciones Lineales
5.1 Definición Transformación Lineal y sus propiedades
Una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El término función lineal se usa incorrectamente en análisismatemático y en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.
Codominio.
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la mecánica cuántica.
Definición
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:
SeanV y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:
1.
2.
Donde k es un escalar.
Propiedades de las transformaciones lineales
Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se satisfaceque:
1.
2.
3.

5.2 Ejemplos Transformaciones Lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)

Demostrar que la siguiente función es una transformación lineal.



Solución: Veamos primero que respeta la suma.
1Sean cualesquiera en

T((x;y)+(x';y')) = T((x+x';y+y'))
                       = (y+y';x+x')
                       = (y;x)+(y';x')
                      = T((x;y))+T((x';y'))

Ahora la multiplicación por escalar.
Sea cualesquiera en y en

T(a(x;y)) = T((ax;ay))
                   = (ay;ax)
                   = a(y;x)
                   = aT((x;y))

  con lo cual hemos demostrado que es una transformación lineal.

Ejemplo 1'8Demostrar que la siguiente función

es una transformación lineal.
Solución: Veamos primero querespeta la suma.
Sean cualesquiera en
T((x;y)+(x';y')) = T((x+x';y+y'))
                             = (2(x+x')+3(y+y');(x+x')-3(y+y'))    
                         = (2x+2x'+3y+3y';x+x'-3y-3y')    
                         = (2x+3y;x-3y')+(2x'+3y';x'-3y')    
                         = T((x;y))+T((x';y'))  

Ahora la multiplicación por escalar.
Sea cualesquiera en y en
T(a(x;y)) =T((ax;ay))    
= (2ax+3ay;ax-3ay)
    = (a(2x+3y);a(x-3y))
    = a(2x+3y;x-3y)
    = aT((x;y))

  con lo cual hemos demostrado que es una transformación lineal.
Ejemplo 109Demostrar que la siguiente función

es una transformación lineal.
Solución: Veamos primero que respeta la suma.
Sean cualesquiera en

T((ax2+bx+c)+(a'x2+b'x+c')) = T((a+a')x2+(b+b')x+(c+c'))
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