MAtematicas 6

GUÍA DE MATEMÁTICAS VI ÁREA III
UNIDAD I: PROGRESIONES
 PROPÓSITOS DE LA UNIDAD: Que el alumno defina y calcule el valor de las
variables que intervienen en las progresiones aritméticas y geométricas. Que
plantee y resuelva problemas de aplicación que le sean significativos.
 TEMAS BÁSICOS:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9

Sucesión: finita e infinita.
Serie.
Progresiónaritmética.
Medias aritméticas.
Progresión geométrica.
Medias geométricas.
Progresión armónica.
Medias armónicas.
Relación entre la media aritmética, geométrica y armónica.

 PROBLEMAS RESUELTOS.
 PROGRESIONES ARITMÉTICAS:
1) Hallar 3 números en progresión aritmética sabiendo que la suma del primero y
el tercero es 12 y, que el producto del primero y el segundo es 24.
SOLUCIÓN:
Losnúmeros en la progresión aritmética son: a - d, a, a + d,....
Luego entonces:
( a - d ) + ( a + d ) = 12
a1=a-d=6-2=4
a - d + a + d = 12
a 2=a=6
2a = 12
a3=a+d=6+2=8
a = 12 / 2
a=6
(a - d ) a = 24
( 6 - d ) 6 = 24
36 - 6d = 24
- 6d = 24 - 36
- 6d = - 12
d = - 12 / - 6
d=2

2/21

RESULTADO:
Los números son 4, 6 y 8.

2) Un hombre avanza en el primer segundo de su carrera 6m y encada segundo
posterior avanza 25cm ¿Cuánto avanzó en el 8o. segundo y qué distancia habrá
recorrido en 8 segundos?
SOLUCIÓN:
a1 = 6
d = .25
n=8
a8 = ?
S8 = ?

an = a1 + (n - 1) d
a8 = 6 + (8 - 1) (.25)
a8 = 6 + (7) (.25)
a8 = 6 + 1.75
a8 = 7.75

Sn = [ n (a1 + an) ] / 2
S8 = [ 8 (6 + 7.75) ] / 2
S8 = [ 4 (13.75) ]
S8 = 55.00

RESULTADO:
En el octavo segundo avanzó 7.75m.
Enocho segundos recorrió 55m.

3) En el primer año de negocios un hombre ganó $ 500 y el último ganó $ 1 900.
Si en cada año ganó $ 200 más que el anterior. ¿Cuántos años tuvo el negocio?.
SOLUCIÓN:
n = (an – a1 + d) / d

a1 = 500
an = 1 900
d = 200

n = 1 900 - 500 + 200 / 200
n = 1 600 / 200
n=8
RESULTADO:
Tuvo el negocio durante 8 años.

4) Interpolar 5 medios aritméticos entre9 y - 3.
SOLUCIÓN:
a1 = 9
a7 = - 3
d=?

an = a1 + (n-1) d
-3 = 9 + (7-1) d
-3 - 9 = 6d
6d = - 12
12
d=6
d = -2

Los medios
son:
9-2=7
7-2=5
5-2=3
3-2=1
1-2=-1

aritméticos

3/21
RESULTADO:
Los 5 medios aritméticos entre 9 y – 3
son: 7, 5, 3, 1 y - 1

5) En una progresión aritmética a 1 = 2 y d = 3 ¿Cuántos términos deben tomarse
para que la suma sea 155?
SOLUCIÓN:a1 = 2
d=3
Sn = 155
n=?

n
[ 2a1 + ( n - 1 ) d ]
2
n
155 =
[(2)(2)+(n-1)3]
2
310 = n [ 4 + 3n - 3 ]
310 = 4n + 3n2 - 3n
3n2 + n - 310 = 0
Descomponiendo en factores:
( 3n + 31 ) ( n - 10 ) = 0 *
31
n1 = ; n2 = 10
3

Sn =

 n = 10 (porque debe ser entero y positivo)
* Operaciones complementarias:
Descomposición en factores:
3n 2  n - 310 
+ n - 310 )
9 n 2 + ( 3n ) -930
=
=
3
3
( 3n + 31 ) ( 3n - 30 )
( 3n + 31 ) 3 ( n - 10 )
=
=
3
3
( 3n + 31 ) ( n - 10 ) .
3(3n

2

RESULTADO:
Deben tomarse 10 términos.

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 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS:
1) Once hombres pescan desde un muelle. El primero posee un capital de $ 2000,
el segundo de $ 4000, el tercero de $ 8000 y así sucesivamente. Calcúlese el
número de millonarios que hay en el grupo.SOLUCIÓN:
a1 = 2 000
n = 11

an = a1 r n-1
a11 = 2000 ( 210 )
a11 = 2000 ( 1024 )
a11 = 2,048,000

r=2
an = a11 = x

a10 =

2048000
2

a10 = 1,024,000
1024000
a9 =
2
a9 = 512,000
RESULTADO:
Solamente hay 2 millonarios
en el grupo.

2) Si para perforar un pozo de 14 m de profundidad se pidieron 2 ¢ por el primer
metro, 4 ¢ por el segundo, 8 ¢ por el tercero y asísucesivamente, ¿cuánto se
cobraría por el último metro? ¿y por la perforación del pozo?
SOLUCIÓN:
a1 = 2
r=2
n = 14
an = a14 = ?
S14 = ?

an = a1 r n-1

Sn = [ a1 ( 1 - r n ) ] / ( 1 - r )

a14 = 2 ( 214-1 )
a14 = 2 ( 213 )

S14 =

a14 = 2 ( 8192 )
a14 = 16384

2 ( 1 - 214 )
1 - 2
2 ( 1 - 16384 )
S14 =
- 1
2 ( - 16383 )
S14 =
- 1
- 32766
S14 =
- 1
S14 = 32766
RESULTADO:...