Matematicas aplicada

Universidad de La Frontera

Facultad de Ingenier´a, Ciencias y Administracion
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Departamento de Matem´ tica y Estad´stica
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Profesores: Dr. Abdon Catal´ n S. - Luis Sandoval T.
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´MATEMATICA APLICADA
SEGUNDO SEMESTRE 2011

Gu´a de Ejercicios (Variable Compleja)
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1.- Utilizar la formula de De Moivre para expresar sen(3θ ) en funcion de las razones
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trigonom´tricas del angulo θ.
e

√
´
2.- Resuelva la ecuacion cos z + senz = i 2.
3.- Sea w = arcsen(z). Demuestra que arcsen(z) = −i ln iz ±

√

1 − z2 .

4.- Sea f (z) anal´tica .
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(a) Si f (z) ∈D tal que f (z) = 0 para todo z ∈ D. Demuestre que: f (z) = cte.
(b)Si | f (z)| = cte.Demuestre que f (z) = cte.
´
5.- ¿Existe una funcion anal´tica f = u + iv tal que u( x, y) = ey/x ?. Justifiqueı
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6.- Analizar si existe alguna funcion anal´tica cuya parte real sea
ı
− x ( xseny + y cos y ). Si es as´ calculela.
´
u( x, y) = e
ı
´
7.- Encontrar los polinomios reales armonicos m´ sgenerales de la forma :
a
u( x, y) = ax2 + bxy + cy2
8.- Verifique que u( x, y) =

x2

y
´
´
´
es armonica en algun dominio y encuentre una armonica
+ y2

conjugada v( x, y)
´
9.- Seanu, v dos funciones reales y armonicas en el plano R2 . ¿Existen condiciones tal
2 no puede ser constante en R2 a menos que u sea
´
que uv sea armonico?. Demuestre que u
constante.
´
10.- Sea lafuncion anal´tica definida por f (z) = x − y + iy2 . Calcule
ı

f (z)dz, donde γ
γ

representa el siguiente camino: el circulo centrado en z = 0 y radio unitario.
2π

´
´
11.- Sea f unafuncion entera, evalue

0

f (z0 + reiθ )ekiθ dθ con k ∈ Z
1

12.- Calcular

|z|=2

1
dz recorrido en sentido positivo.
1 − z2

13.- Sea f (z) = u(r, θ ) + iv(r, θ ) anal´tica. Demuestraque: r2
ı

∂u ∂2 u
∂2 u
+r + 2 = 0
∂r
∂r2
∂θ

´
14.- Sea f una funcion compleja cont´nua sobre la circunferencia z ∈ C, |z| = 1. Demuestra
ı
dz
que
f (z)dz = −
f (z) 2
z
|z|=1...