Matematicas Aplicadas A La Biologia

Matem´tica en la Salud a
Sergio Plaza
Departamento de Matem´tica y C.C. a Universidad de Santiago de Chile Casilla 307-Correo2 Santiago, Chile e-mail: splaza@lauca.usach.cl homepage: http://fermat.usach.cl/~dinamicos/SPlaza.html

Ver´nica Poblete o
Departamento de Matem´tica a Facultad de Ciencias Universidad de Chile ˜ n Las Palmeras 3425, Nu˜oa, Santiago e-mail: vpoblete@uchile.clNovember 23, 2010

Contenidos

0 Introducci´n o 1 N´meros reales u 1.1 1.2 1.3 1.4 Axiomas y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axiomas de Orden e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . Valor absoluto: Distancia en R . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 3 6 12 15 23 23 34 37 42 50 50 52 58

2Funciones de variable real 2.1 Definici´n, propiedades y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . o 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Algebra de Funciones y Funci´n Inversa . . . . . . . . . . . . o Funci´n Exponencial y Funci´n Logaritmica . . . . . . . . . . o o 2.3.1 2.3.2 2.3.3 Funci´n Exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Funci´n Logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

ii 3 Trigonometr´ ıa 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 ´ Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones Trigonom´tricas de ´ngulos agudos . . . . . . . . . e a Funciones Trigonom´tricas de n´meros reales . . . . . .. . . e u Identidades Trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 63 64 68 75 76 83 83 85 88 91 94 96 103

4 L´ ımites y continuidad 4.1 L´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 4.3 Propiedades de los l´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . L´ ımites laterales .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L´ ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Derivada 5.1 5.2

Definici´n e Interpretaci´n Geom´trica de Derivada . . . . . . 103 o o e C´lculo de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 110 a 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 a ´lgebra de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . 113 Funciones Impl´ ıcitas y Derivaci´n Impl´ o ıcita . . . . . . 114 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.3

Aplicaciones de Derivadas . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 121

iii 5.3.1 5.3.2 5.3.3 Valores Extremos, Crecimiento y Decrecimiento . . . . 121 Raz´n de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 o Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 139

6 Integraci´n o 6.1

Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 Primitivas . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Reglas B´sicas de Integraci´n . . . . . . . . . . . . . . 141 a o Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.2

M´todos de integraci´n e o 6.2.1 6.2.2 6.2.3

Integraci´n por sustituci´n . . . . . . . . . . . . . . . 146 oo Integraci´n por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 o Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Cap´ ıtulo 0

Introducci´n o
El enfoque matem´tico ha funcionado maravillosamente bien para la f´ a ısica, pero qu´ hay de la biolog´ La matem´tica es la ciencia de la estructura e ıa? a y las pautas, en los ultimos siglos se han descubierto modos en los que...