Matematicas Aplicadas A La Economia

INTEGRAL
La integral es la antiderivada de una función, en otras palabras, integrar la función derivada es obtener la función original.
Notación científica
fx= Derivada
dx=fXAntiderivada
INTEGRAL INDEFINIDA
REGLAS DE INTEGRACIÓN
Integral de una constante.-
Es igual a la constante que multiplica a X más C.
kdx= kx+c
tdx= tx+c
8dx= 8x+c

Integral de una incógnita elevada a n.-
Excepto cuando n = -1
Xndx=1n+1xn+1+c

X2dx=12+1x2+1+c=x33+c
1x7dx=1x72dx=x-72dx=1-72+1x-2+17+c=-2x-255+c

Integral de una constante por una incógnita elevada a unexponente.-
Se separa a la constante de la integral y la incógnita se resuelve como en el caso anterior.
kxndx=kxndx
5x3dx=5x3dx=5∙11+3x1+3+c=5x44+c
6x2dx=6x2dx=6∙11+2x1+2+c=2x3+c

Integral de una sumatoria.-
Se encuentra la integral de cada uno de los términos respetando el correspondiente signo:
fx+gxdx=fxdx+gxdx+c Integral de una sumafx-gxdx=fxdx-gxdx+c Integral de una resta
s2-s+3dx=13x3+12x2+3x+c
3x2-2x3-4dx=3x2-2x-3-4dx=x3+x-2-4x+c
Integral de una función ex.-
exdx=ex+c
esds=es+c
er+redr=er+1e+1+c

Integral de 1x o x-1.-
x-1dx=lnx+c
3x-1dx=3lnx+c
TT2dt=t-1dt=lnt+c
Integral por sustitución.-
En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posibleresolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado de modo que la integral sea más sencilla; este procedimiento se conoce como integración por sustitución.
fu.u´dx=Fu+c
1) 3x2x3+32dx=x3+32.3x2dx=u2du=u33+c=x3+323+c

u=x3+3
du=3x2
2) e-5tdt=-15eudu=-eu5+c=15e-5t+c

u=-3x
du=-3dx
1-3du=dx

INTEGRAL DEFINIDA
Si tratamos de calcular el área debajo de la curvaentre los puntos a y b, utilizaremos figuras geométricas lo más parecidas posibles, en este caso lo hacemos con rectángulos pero queda un espacio entre ellos que es considerado pérdidas.


a b
At= A1 + A2 + A3 + A4
Si usamos rectángulos más pequeños la pérdida es cada vez menor, es decir que tiende a “0”

a b
At= A1 + A2 + A3…………………………. + A64
Lim f(x) = A1 + A2 +A3…………………………. + An
n ∞
La integral definida se representa por , donde el límite inferior está representado con a y el límite superior con b. En conclusión la integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas.
abfxdx=Fb- Fa
1) 23xdx= xdx= x22+c
23xdx= Fb- Fa=322-222=192-42=152unidades cuadradas


2) 15xdx=xdx= x22+c
15xdx=522-122=252-12=12 uni2
fx=x
001122



3 A1=b*h2=4*42=8
A2=a*l=1*4=4
A1
At=8+4=12
A2


2 3
u=x2+4
du=2xdx
du2=xdx

También podemos definir una integral a través del método de sustitución:

1.) 03xx2+42dx=12u2du= u36+c

03 32+4=1302+4=4 Reemplazamos el valor de u con los límites de la integralu=x2+4
Y decimos entonces,
12413u2du= u36+c=1336-436=21976-646=21336uni2
u=1+2x2
du=4xdx
du4=xdx

2.) -21x1+2x2dx=14u-1du=14lnu+c
-21 1+2*12=31+2*-12=9
1439u-1du=14lnu+c=ln94-ln34=ln9-ln34uni2

ÁREAS BAJO LA CURVA
Como hemos visto al definir una integral lo que hacemos es encontrar el área bajo la curva entre dos puntos determinados.
1) 8x2-15x-2=
x1=-1/8x2=2
–0,12528x2-15x-2dx=8x33-15x22-2x+c

–0,12528x2-15x-2dx=8233-15222-22-81833-151822-218=21.33-30-4-0.0052-0.1172-0.25=-12.67+0.362=12.31un2

2) –x2-3x-4=
x1=45 x2=-13
-0.330.8–x2-3x-4dx=-x33-3x22-4x+c
-0.330.8–x2-3x-4dx=-0.833-30.822-40.8- -0.3333-3-0.3322-4-0.33=0.17-0.96-3.2--0.01-0.16+1.32= -3.99-1.47=5.46 un2

Si para calcular el área entre una curva y = f(x), el eje x y dos...