MATEMATICAS Basicas 9

OPERACIONES CON POLINOMIOS
Una vez que ya hemos trabajado con los monomios, debemos saber también como trabajar con los polinomios. En esta sección encontrarás lo referente a este tema.
INDICE:
Términos Semejantes
Suma y Resta de Polinomios
Multiplicación de Polinomios
Potenciación de Polinomios
Productos Notables
División
Cocientes Notables

Términos Semejantes
Antes de pasar a evaluarlas diferentes operaciones con polinomios, conviene revisar nuevamente los términos semejantes.
Observemos la siguiente pareja de expresiones algebraicas:   a) 4x2y3          b) 2x2y3
Vemos que en ambas expresiones se repite la parte literal, en ambos monomios hay x2, así mismo, en ambos monomios hay y3.
Cuando la parte literal en dos términos sea igual, entonces estaremos hablando de términossemejantes.
No importara el orden de las letras en la parte literal, así, los monomios: 6a3b2c , cb2a3 , también representan términos semejantes pues en ambos encontramos a3, b2 y c1.



Suma y Resta de Polinomios
En un polinomio podremos sumar o restar solamente los términos semejantes, todo lo demás quedara exactamente igual.
Digamos que queremos sumar los polinomios siguientes:
P1: 5x2y +3xy2
P2:3x3 -2x2y +xy2 -4y3
Entonces la suma será:
P1 + P2: 5x2y +3xy2 +3x3 -2x2y +1xy2 -4y3
(Como se puede ver he añadido el número 1 en el  término que no lo tenía para facilitar la operación)
Ahora debemos ver si hay términos semejantes:
P1 + P2: 5x2y +3xy2 +3x3 -2x2y +1xy2 -4y3
(Hemos marcado con rojo los términos que tienen x2y, hemos marcado con azul los términos con xy2)
Operamos los términos conx2y: 5x2y  -2x2y = 3x2y
Operamos los términos con xy2: 3xy2 +1xy2 = 4xy2
Introducimos los resultados parciales en nuestro polinomio respuesta:
P1 + P2: 3x2y +4xy2 +3x3 -4y3   (esta es la respuesta)
Para realizar una resta, el procedimiento es similar, pero debemos tener mucho cuidado con los signos. Digamos que ahora quiero restar P1 -P2:
P1 - P2: 5x2y +3xy2 -(3x3 -2x2y +1xy2 -4y3)  Nótese que P2lo he puesto entre paréntesis
P1 - P2: 5x2y +3xy2 -3x3 +2x2y -1xy2 +4y3   Ahora vemos como hemos cambiado el signo a todo P2
Ahora recién buscamos los términos semejantes y realizamos las operaciones:
P1 - P2: 5x2y +3xy2 -3x3 +2x2y -1xy2 +4y3
P1 - P2: 7x2y +2xy2 +3x3 -4y3   (esta es la respuesta)
Multiplicación de Polinomios
En la multiplicación de polinomios tendremos que multiplicar todos lostérminos entre ellos. Evaluemos el siguiente ejemplo en el cual queremos multiplicar P1xP2:
P1: 5x2y +3xy2
P2: 3x3 -2x2y +xy2 -4y3
Entonces:
P1xP2: (5x2y +3xy2)(3x3 -2x2y +xy2 -4y3)
P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)     He colocado con rojo el numero 1 donde puede necesitarse.
Ahora tendré que multiplicar el primer término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundopolinomio:
P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)
(5x2y1)(3x3)        = 15x5y1    (el exponente 1 esta con rojo ya que sabemos que no es necesario ponerlo)
(5x2y1)(-2x2y1)   =  -10x4y2
(5x2y1)(+1x1y2)  =  5x3y3
(5x2y1)(-4y3)      =  -20x2y4
Hacemos lo mismo con el segundo término del primer polinomio:
P1xP2: (5x2y1 +3x1y2)(3x3 -2x2y1 +1x1y2 -4y3)
(+3x1y2)(3x3)        =  +9x4y2(+3x1y2)(-2x2y1)   =  -6x3y3
(+3x1y2)(+1x1y2)  =  +3x2y4
(+3x1y2)(-4y3)      =  -12x1y5    (el exponente 1 esta con rojo ya que sabemos que no es necesario ponerlo)
Ahora acomodamos la respuesta:
P1xP2: 15x5y1 -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12x1y5
P1xP2: 15x5y -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12xy5 (eliminamos los 1 innecesarios)
Ahora vemos si hay términos semejantes que podamos sumar orestar:
P1xP2: 15x5y -10x4y2 +5x3y3 -20x2y4 +9x4y2 -6x3y3 +3x2y4 -12xy5
Tenemos que simplificar los términos semejantes:
Operamos los términos con x4y2: -10x4y2 +9x4y2 = -1x4y2
Operamos los términos con x3y3: +5x3y3 -6x3y3 = -1x3y3
Operamos los términos con x2y4: -20x2y4 +3x2y4 = -17x2y4
Ahora si, presentamos la respuesta:
P1xP2: 15x5y -1x4y2 -1x3y3 -17x2y4 -12xy5
Recordemos siempre que la...