MATEMATICAS BASICAS FINAL

1. CONJUNTOS

1.1 Definición

Es la colección de varios elementos, cosas, objetos con ciertas características que lo hagan permanecer a este.
EJEMPLO: A={A,B,C,D,F,G,H,I,J,K,L,M,N,Ñ,O,P,Q,etc.}
A= {ABECEDARIO}

1.1.1 Notación y simbología

Llamaremos elemento a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permitendiferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b,c,…

∈ / ∉: Se usa para expresar si un elemento pertenece o no a un conjunto.

⊂: Se usa para expresar que un conjunto, y por lo tanto, todos sus elementos, forman parte de otro conjunto mayor.

U / ∅: El primer símbolo indica el conjunto universal, es elconjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar laexistencia de dicho conjunto previamente.

El otro conjunto, se le llama conjunto vacío y cumple que todos los elementos posibles no están contenidos en él, es decir ∀x, x∉∅.

1.1.2 Conjuntos por extensión

Determinación por Extensión: Un conjunto está definido por extensión cuando se especifican todos los elementos que forman el mismo.

Ejemplo: Los siguientes conjuntos están definidos por extensión.(a) El conjunto de las vocales del alfabeto.
A = {a, e, i, o, u}

(b) El conjunto formado por los números enteros pares no negativos y menores que diez.
B = {0, 2, 4, 6, 8}

Obsérvese que los elementos del conjunto están separados por comas y encerrados entre llaves.

Ejemplo: Definir por extensión los siguientes conjuntos.
(a) El conjunto de los enteros no negativos menores que cinco.
(b) Elconjunto de las letras de mi nombre.
(c) El conjunto cuyo único elemento es el primer Presidente de Gobierno de la democracia.
(d) El conjunto de los números primos entre 10 y 20.
(e) El conjunto de los múltiplos de 12 que son menores que 65.
Solución
(a) A = {0, 1, 2, 3, 4}
(b) B = {p, a, c, o}
(c) C = {Adolfo Suárez}
(d) D = {11, 13, 17, 19}
(e) E = {12, 24, 36, 48, 60}

1.1.3 Conjuntos porcomprensión

Determinación por Comprensión: Se dice que un conjunto ésta definido por comprensión cuando se especifica una propiedad que caracteriza a todos los elementos del mismo.
Esta propiedad o especificación implícita, se hace a menudo mediante un predicado con una variable libre. El conjunto estará determinado por aquellos elementos del universo que hacen del predicado una proposición verdadera. Deaquí que si p(x) es un predicado con una variable libre, el conjunto
A = {x : p(x)}
Denota al conjunto A tal que a ∈ A si, y sólo si p(a) es verdad.
Ejemplo 1.4 Definir por comprensión los siguientes conjuntos:
(a) El conjunto de los enteros mayores que diez.
(b) El conjunto de los enteros pares.
(c) El conjunto {1, 2, 3, 4, 5}
Solución
(a) A = {x : x ∈ Z ∧ x > 10}
(b) B = {x : x ∈ Z ∧ ∃y ∈ Z ∧ x= 2y}
(c) C = {x : x ∈ Z ∧ 1 6 x 6 5}

1.2 Relaciones de pertenencia

Para indicar que el objeto  es uno de los elementos del conjunto. Es decir, el símbolo "", una versión de la letra griega  (épsilon), lo usaremos para representar la relación de pertenencia[1]. Los argumentos de una relación son los objetos que acompañan a esa relación. En el ejemplo, los argumentos de la relación  son  (primerargumento) y  (segundo argumento). Así, puede decirse que los primeros argumentos de la relación  pertenecen al universo de los elementos, mientras que los segundos argumentos de esta misma relación pertenecen al universo de los conjuntos. Si aceptamos que todo es un conjunto (algo que, por ciertas razones que se verán en su momento, haremos cuando se desarrolle la teoría axiomática de...