Matematicas basicas

GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES

Las funciones más usadas en Cálculo son las siguientes:

1. Función lineal:

Forma general f ( x) = mx + n , donde m es la pendiente de la recta y

n es la ordenada del punto de intersección de la recta con el eje Y. La siguiente figura

muestra una recta cualquiera.

Ejemplo: Determine la pendiente y la intersección con el eje Y de las siguientes rectas:(a) y = 2 x − 3 , (b) 4 x − 5 y = 7 .

Solución:
(a) Comparando y = 2 x − 3 con la forma general f ( x) = mx + n , concluimos que
m = 2 y n = −3 . Es decir, la pendiente de la recta es m = 2 y corta al eje Y

en el

punto (0, n) = (0,−3) .

(b) Escribimos la ecuación 4 x − 5 y = 7 , en la forma y =
que m = 4 / 5 y que n = −7 / 5 .

Usando Maple: (a)
> y:=2*x-3;
y := 2 x − 3

>plot(y,x=-2..5);

(b)
> y:=4/5*x-7/5;
y :=

> plot(y,x=-2..4);

4
7
x−
5
5

4
7
x − , de donde se deduce
5
5

Ejercicios:
1. Determine la pendiente y la intersección en y de la recta, y obtenga su gráfica.
(a) x + y = 3 , (b) x + 3 y = 0 , (c)

1
1
x − y + 1 = 0 , (d) 3 x − 4 y = 12 .
2
3

2. Un fabricante de pequeños aparatos domésticos encuentra que si produce xhornos
con tostador en un mes, su costo de producción está dado por la ecuación

y = 6 x + 3,000 ( y en dólares).
a) Trace la gráfica de esta ecuación.
b) ¿Qué representan la pendiente y la intersección en y de esta gráfica?

3. Se proporcionan ecuaciones (i) y (ii) para la oferta y la demanda.
a) Trace la gráfica de las dos ecuaciones en un rectángulo de visualización
apropiado.
b) Estimeel punto de equilibrio de la gráfica .
c) Estime el precio y la cantidad de la mercancía producida y vendida en el
punto de equilibrio.
(i) Oferta: y = 0.45 p + 4
Demanda: y = −0.65 p + 28

(ii) Oferta: y = 8.5 p + 45
Demanda: − 0.6 p + 300 .

2. Función cuadrática. Forma general f ( x) = ax 2 + bx + c .

Gráfica de la función cuadrática, que muestra el vértice y la intersección con eleje Y.

Ejemplo:

1. Trace la gráfica de la función cuadrática f ( x) = −2 x 2 + 3 .
Solución:

Para esta función tenemos que a = −2 , b = 0 y c = 3 . Como a < 0 , la concavidad de la
función (parábola) apunta hacia abajo. Como c = 3 , la función corta al eje Y, en este
valor de la ordenada. El vértice de la parábola es

V (−b / 2a , − (b 2 − 4ac) / 4a ) =

V (−0 / 2(−2) , − ((0) 2 −4(−2)(3) / 4(−2) ) = V ( 0 , 3 ) . El gráfico se obtiene, directamente
o usando Maple.

> f(x):=-2*x^2+3;
f( x ) := −2 x2 + 3

> plot(f(x),x=-3..3,y=-15..10);

¿Cuál es el valor máximo de esta función?

2. Determine el valor máximo o mínimo de cada una de las siguientes funciones
cuadráticas.
a)

f ( x) = x 2 + 4 x , b) f ( x) = −2 x 2 + 4 x − 5 .

Solución:

a) En este caso a= 1, b = 4 y c = 0. Por lo tanto, el vértice de la parábola es
V (−b / 2a , − (b 2 − 4ac) / 4a )

=

V (−(4) / 2(1) , − ((4) 2 − 4(1)(0)) / 4(1) )

=

V (−2 , − 4 ) . Es decir, como a > 0 , en el vértice ( x = −2 ) , tenemos un
mínimo de valor f (−2) = −4 .

Usando Maple:

> f(x):=x^2+4*x;
f( x ) := x2 + 4 x

> plot(f(x),x=-6..2,y=-6..10);

b) Observe que en el vértice x =−b
⎛−b⎞
, f⎜
⎟ es el valor máximo si a < 0 ,
2a
⎝ 2a ⎠

mientras que, es el valor mínimo si a > 0 .

Para este ejemplo a = −2 , b = 4 . Luego, en x =

− ( 4)
−b
=
= 1 , tenemos un
2(−2)
2a

⎛−b⎞
2
máximo de valor f ⎜
⎟ = f (1) = −2(1) + 4(1) − 5 = −3 , ya que a < 0 .
2a ⎠
⎝
Comprobación, usando Maple:
> f(x):=-2*x^2+4*x-5;
f( x ) := −2 x2 + 4 x − 5

>plot(f(x),x=-1..3,y=-10..2);

Ejercicios:

1. Trace la gráfica de la parábola dada y determine las coordenadas de su vértice y

de

sus intersecciones.
a) y = x 2 + 6 x + 8 , b) y = 2 x 2 − 20 x + 57 , c) y = −3x 2 + 6 x − 2 .
2. Determine el valor máximo o mínimo de la función dada.
a) f ( x) = x 2 + x + 1 , b) f (t ) = 100 − 49t − 7t 2 , c) f ( x) =

1 2
x + 2x − 6 .
2

3. Determine la función...