Matematicas basicas

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN SEMESTRE 01-2009 CLASE # 1 CAPÍTULO 0: LÓGICA ELEMENTAL Y TEORÍA DE CONJUNTOS NOCIONES SOBRE CONJUNTOS De…niciones: Conjunto: Colección de objetos. Grá…camente, se representan por medio de una curva cerrada llamada diagrama. Elemento: Es cada uno de los objetos que constituyen un conjunto. Ejemplo 1: Consideremos el conjunto Acuyos elementos son los números naturales entre 1 y 4: A = f1; 2; 3; 4g: Grá…camente lo representamos de la siguiente forma

Conjunto vacío: Es aquel conjunto que no posee elementos y lo denotamos con el símbolo ;. Ejemplo 2: Consideremos el conjunto A = fx 2 N=x + 1 = 0g.

Observemos que, para todo x 2 N, la proposición Px : "x + 1 = 0" es falsa. Luego, A = ;. Conjunto …nito: Decimos que unconjunto es …nito si podemos a…rmar que el número de elementos es un número natural. Ejemplo 3: A = fx 2 N=x < 4g.

Claramente, A tiene 3 elementos: A = f1; 2; 3g. Luego, A es …nito.

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Conjunto in…nito: Decimos que un conjunto es in…nito si no es …nito. Ejemplo 4: A = fx 2 R=0 6 x 6 1g.

Claramente, A es in…nito ya que no podemos asignar un número natural para su número de elementos.OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. Inclusión Si A y B son conjuntos, decimos que A es subconjunto de B y escribimos A elemento de A es elemento de B. En particular A A. B si y sólo si todo

A Ejemplo 5:

B

Sean: A = fa; ; e; i; o; ug; B = fx=x es una letra del abecedariog. Aquí A Notas: El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto (;

B.

A para todo conjunto A).

Dos conjuntos A yB son iguales si y sólo si A B y B A. Es decir, A = B si y sólo si todo elemento de A está en B y todo elemento de B está en A: 2. Unión Sean A y B dos conjuntos. Escribimos A [ B para designar el conjunto que contiene los elementos exclusivos de A, los elementos exclusivos de B y los elementos comunes de A y B (En otras palabras, son todos los elementos de A y B sin repetir). Podemos, entonces,escribir x 2 A [ B () x 2 A ó x 2 B.

A[B

2

Ejemplo 6: Sean: A = f1; 3; 5; 7; 9g; B = f0; 3; 6; 9; 12g. Entonces, A [ B = f0; 1; 3; 5; 6; 7; 9; 12g. Propiedades de la unión A[A=A A[;=A A[B =B[A A [ (B [ C) = (A [ B) [ C A (A [ B); B (A [ B) 3. Intersección Sean A y B dos conjuntos. Escribimos A \ B para designar al conjunto que contiene los elementos que son comunes a A y B. Entonces, x 2A \ B () x 2 A y x 2 B.

A\B Ejemplo 7: Sean: A = fx 2 R=0 6 x 6 2g; B = fx 2 R=1 6 x 6 3g. Entonces, A \ B = fx 2 R=1 6 x 6 2g: Propiedades de la intersección A\A=A A\;=; A\B =B\A A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C)

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Tarea Sombree la siguientes regiones con el …n de comprobar las últimas dos propiedades:

A \ (B [ C)

(A \ B) [ (A \ C)

A [ (B \ C) 4.Complemento

(A [ B) \ (A [ C)

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U. Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda: U = f1; 2; 3; 4; 5g Si consideramos U : conjunto universal y A : subconjuntode U . De…nimos Ac como los elementos de U que no están en A. Entonces, x 2 Ac si y sólo si x 2 A. =

Ac

4

Ejemplo 8: Si U = fa; b; c; d; e; f; g; hg y A = fc; f; hg, entonces Ac = fa; b; d; e; gg. Propiedades del complemento (Ac )c = A c A [ A = U (U : conjunto universal) A \ Ac = ; (A [ B)c = Ac \ B c (A \ B)c = (Ac [ B c ) Nota: Las dos últimas propiedades son conocidas como las "Leyesde Demorgan" Tarea Sombree las siguientes regiones con el …n de comprobar las Leyes de Demorgan:

(A [ B)

c

Ac \ B c

(A \ B) 5. Diferencia

c

Ac [ B c

Sean A y B dos conjuntos. Llamamos AnB al conjunto conformado por los elementos que están en A y no están en B. Es decir, x 2 AnB () x 2 A y x 2 B. =

AnB

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Ejemplo 9: Sean: A = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g; B = f1; 4; 6;...