matematicas derivadas

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE

Escribimos, y decimos "el límite de  , cuando x tiende a a, es igual a L" si podemos acercar arbitrariamente los valores de  a L (tanto como deseemos) tomando a x lo bastante cerca de a, pero no igual a a.

Límite por la izquierda

Escribimos decimos que el límite izquierdo de f(x) cuando x tiende a a [o el límite de f(x) cuando x seacerca a a desde la izquierda] es igual a L, si podemos aproximar los valores de  a L tanto como queramos, escogiendo x lo bastante cerca de a pero menor que a.

Límite por la derecha

Escribimos decimos que el límite derecho de f(x) cuando x tiende a a [ o el límite de f(x) cuando x se acerca a a desde la derecha ] es igual a L, si podemos aproximar los valores de  a L tanto como queramos,escogiendo x lo bastante cerca de a pero mayor que a.


Teorema de la existencia del límite   si y sólo si   y 
Propiedades de los Limites

Si c es una constante y existen los limites 
 
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 
 

 
 

Es importante saber cómo se traduce lo escrito con anterioridad, por ejemploel teorema #1 se traduce como: el límite de una suma es la suma de los límites otro ejemplo sería el teorema #4 el cual se traduce como: el límite de una multiplicación es la multiplicación de los límites y así con el resto de teoremas.
Ejemplo #1
 

 







Teoremas sobre límites
Teorema
Unicidad del límite de una función
Si una función tiene límite es único. 

H) Existelimx->af(x)=b
T) b es único
Demostración
La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.
Suponemos que b > c.
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε.
limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todox perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε.
Consideremos un ε tal que Eb,ε ∩ Ec,ε = Ø.

Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple
f(x) pertenece a Eb,ε
f(x) pertenece a Ec,ε
Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.
Definición
Límites lateralesLímite de f(x) en el punto a por la derecha :
limx->a+f(x)=b para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) |f(x) - b| < ε.
Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :
limx->a-f(x)=b para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) |f(x) - b| < ε.
Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ). x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a).
A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.
Ejemplo
f(x) = x2 si x 2

   
limx->2-f(x)=4
limx->2+f(x)=-3
No existe limx->2f(x)
TeoremaExiste el límite finito de una función los límites laterales son iguales.

H) limx->af(x)=b
T) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b
Demostración:
Directo:
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε.
=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) pertenece al Eb,ε => (por def. de límiteslaterales) limx->a-f(x)=b.
y para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) pertenece al Eb,ε => (por def. de límites laterales) limx->a+f(x)=b.
Recíproco:
limx->a+f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε > 0 existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ1) f(x) pertenece al Eb,ε.
limx->a-f(x)=b => (por def. de límites laterales) para todo ε >...