Matematicas diferenciales

INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS

Modelos matemáticos y teorías
• Un modelo constituye una representación abstracta de un cierto aspecto de la realidad. En su estructura intervienen, por una parte, los elementos que caracterizan la realidad modelizada y, por otra parte, las relaciones existentes entre ellos. • Un modelo matemático es un tipo de modelo basado en la lógica matemática, cuyoselementos son esencialmente variables y funciones, y las relaciones entre ellos vienen expresadas a través de relaciones matemáticas (ecuaciones, inecuaciones, operadores lógicos...) que se corresponden con las correspondientes relaciones del mundo real que modelizan (relaciones tecnológicas, leyes físicas, restricciones del mercado...).

• Importancia de los modelos matemáticos en Economía:– La construcción de modelos revela, a veces, relaciones que no son evidentes a primera vista – Una vez construido el modelo, es posible extraer de él propiedades y características de las relaciones que de otra forma permanecerían ocultas – En aquellas situaciones económicas del mundo real en las que no es posible experimentar con la realidad, ofrecen un marco teórico para evaluar la toma dedecisiones así como sus consecuencias

Modelos matemáticos estáticos vs modelos matemáticos dinámicos
•En un modelo estático la variable tiempo no desempeña un papel relevante. En un modelo dinámico, por el contrario, alguno/s de los elementos que intervienen en la modelización no permanecen invariables, sino que se consideran como funciones del tiempo, describiendo trayectorias temporales. •Elanálisis de un modelo dinámico tiene por objeto el estudio de la trayectoria temporal específica de alguno/s de sus elementos
MODELOS DINÁMICOS DETERMINISTAS VS MODELOS DINÁMICOS ESTOCÁSTICOS
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• Un modelo dinámico determinista es aquel en el que, tanto a los parámetros como a las variables temporales, se les asignan valores determinados con certeza absoluta • En general existen pocos modelosdeterministas en el campo de la Economía y las Finanzas, ya que en la mayor parte de los casos, las variables y parámetros involucrados en los modelos económicos y financieros (tasas de interés, precios de activos, ....) son impredecibles. • Habitualmente la modelización dinámica en modelos económicofinancieros hace uso de modelos estocásticos. estocásticos • En un modelo estocástico, alguna variable(o parámetro) sigue un proceso estocástico, es decir, que los valores que toma a lo largo del tiempo no son determinados con certeza absoluta sino que siguen una distribución de probabilidad. • El estudio de los modelos dinámicos estocásticos (y sus aplicaciones económico-financieras) constituye el contenido fundamental de la asignatura

Ejemplo: Modelo de capitalización compuesta
–Consideremos un depósito financiero a 3 años, con capital inicial C0 y tasa de interés anual del 6 %. Diseña un modelo de capitalización compuesta considerando que la capitalización es:
(a) Anual • Elementos del modelo
– Variable tiempo t: variable discreta t ∈{0, 1, 2, 3} – Variable de estado C(t) que describe la evolución del capital a lo largo del tiempo. Es función del tiempo y el estudio de sutrayectoria temporal es el objetivo del modelo. – ∆t = 1 : incremento de tiempo transcurido entre dos valores de la variable t, es decir entre dos periodos Los modelos discretos suelen trabajar con valores de t equidistantes y, por tanto, con un incremento constante. – n = 3; número de periodos. Se cumple n* ∆t = intervalo temporal total.

∆t = 1
0 C(0) 1 C(1) 2 C(2) 3 años C(3)

•Relaciones
-Queremos establecer la relación existente entre el capital en un instante t y el capital en el instante siguiente t + ∆t. Aplicando la ley de capitalización compuesta se tiene que: C(t + ∆t) = C(t) + C(t)*0.06 = C(t)*(1+0.06)

•Resolución del modelo
- Procediendo recursivamente obtenemos C(3): C(0) = C0 C(1) = C0*(1+0.06) C(2) = C(1)*(1+0.06) = C0*(1+0.06)*(1+0.06) = C0*(1+0.06)2 C(3) =...