Matematicas discre

TECNICAS DE CONTEO
Adición: Si A puede realizarse den formas diferentes y B puede realizarse de m formas diferentes y ambos no pueden realizarse simultáneamente (solo se puede llevar a cabo uno de los 2) entonces A o B pueden realizarse den+m formas diferentes. Este resultado se puede generalizar a más de 2 procesos.
Multiplicación: Si un proceso puede dividirse en dos etapas o fases(simultáneas o no) y una puede realizarse den formas diferentes y la otra de m formas diferentes, entonces el proceso puede efectuarse den ·m formas diferentes. Este resultado se puede generalizar a más de 2 etapas o fases.
Permutación: Si se tiene los elementos a1, a2,..., an, cada ordenamiento diferente de esos n elementos recibe el nombre de permutación. Es importante resaltar que el orden es unacaracterística importante en la permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos y se obtiene otra permutación.
Combinaciones: Si el orden de los k elementos no es importante (ordenamientos diferentes de los k elementos se considera la misma forma de seleccionar los k elementos) entonces se llama combi naciones.

BINOMIO DE NEWTON 
Vamos a deducir lafórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener
Para ello veamos cómo se van desarrollando las potencias de (a+b)
 

Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia

Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los números combinatorios desde los denumerador 1.
O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:

Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tiene encima.
 
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valorde un número combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:

Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario.
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguientepotencia de (a+b), sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.

Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton

que también se puede escribir de forma abreviada así:

TRIANGULO DE PASCAL
El triángulo de Pascal en matemáticas es un conjunto infinito de números enteros ordenados en forma de triángulo que expresan coeficientes binomiales. El interésdel Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra y permite calcular de forma sencilla números combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton.
En países orientales como China, India o Persia, este triángulo se conocía y fue estudiado por matemáticos como Al-Kara ji, cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones, o por el astrónomo y poeta persa Omar Jayyam(1048-1123). En China es conocido como Triángulo de Yang hui, en honor al matemático Yang Hui, quien lo describió el año 1303.[
El Triángulo se construye de la siguiente manera: comenzamos en el número «1» centrado en la parte superior; después, escribimos una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras situadashorizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) lo escribimos debajo de dichas casillas; continuamos el proceso escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3)...
Las cifras escritas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» recuerdan los coeficientes de las identidades:

Es más, se puede generalizar para cualquier potencia del binomio:
Vínculo entre...