Matematicas discretas (teoria de conjuntos)

Números naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios.
Los números se clasifican en Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y Reales.
Los números más conocidos son los números naturales, que se usan para contar. Éstos, conjuntamente con los números negativos, conforman el conjunto de los enteros. Cocientes de enteros generan los números racionales. Si se incluyen todoslos números que pueden expresarse con decimales pero no con fracciones de enteros (irracionales), se habla entonces de los números reales; si a éstos se les añade los números complejos, se obtendrán todos los números necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica. Pueden añadirse también los infinitos, los hiperreales y los transfinitos. Entre los reales, existen números que no sonsoluciones de una ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de transcendentales. Ejemplos famosos de estos números son el número π (Pi) y el número e (este último base de los logaritmos naturales), los cuales están relacionados entre sí por la identidad de Euler.
Existe toda una teoría de los números, que clasifica a los números en:



Una vez entendido el problema de la naturaleza yla clasificación de los números, surge otro, más práctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El sistema que se ha impuesto universalmente es la numeración posicional, gracias al invento del cero, con una base constante. Más formalmente, en The concept of number, el matemático Frege realiza una definición de «número», la cual fue tomada comoreferencia por muchos matemáticos (entre ellos Russell, cocreador de principia mathematica): «n» es un número, es entonces la definición de «que existe un concepto “F” para el cual “n” aplica», que a su vez se ve explicado como que «n» es la extensión del concepto «equinumerable con» para «F», y dos conceptos son equinumerables si existe una relación «uno a uno» (véase que no se utiliza el símbolo «1»porque no está definido aún) entre los elementos que lo componen (es decir, una biyección en otros términos).
También Frege, tanto como cualquier otro matemático, se ven inhabilitados para definir al número como la expresión de una cantidad, porque la simbología matemática no hace referencia necesaria a la numerabilidad, y el hecho de «cantidad» referiría a algo numerable, mientras que números seadoptan para definir la cardinalidad de, por ejemplo, los elementos que se encuentran en el intervalo abierto (0, 1), que contiene innumerables elementos (el continuo). Peano, antes de establecer sus cinco proposiciones sobre los números naturales, explícita que supone sabida una definición (quizás debido a su «obviedad») de las palabras o conceptos cero, sucesor y número. De esta manera postula: 0 es un número,
 el sucesor de todo número es un número,
 dos números diferentes no tienen el mismo sucesor,
 0 no es el sucesor de ningún número,
 y la propiedad inductiva.







Sin embargo, si uno define el concepto cero como el número 100, y el concepto número como los números mayores a 100, entonces las cinco proposiciones mencionadas anteriormente aplican, no a la idea quePeano habría querido comunicar, sino a su formalización. La definición de número se encuentra por ende no totalmente formalizada, aunque se encuentre un acuerdo mayoritario en adoptar la definición enunciada por Frege. Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano paracontar objetos.
Notación: Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del autor y la tradición, el conjunto de los números naturales puede definirse entonces de dos maneras distintas:

Definición sin el cero:

Definición con cero:



Donde la N de natural se suele escribir...