Matematicas discretas

Demostración directa e indirecta. Enumeración, disyuntiva, dilema y reducción al absurdo
Habitualmente, quien argumenta aporta razones en favor de una tesis. Esto es lo que se llama una demostración directa. Se muestran las premisas que conducen directamente a la conclusión:
Todo número par es divisible por dos.
Quince no es divisible por dos.
Luego quince no es número par.
Hay casos, sinembargo, en que no podemos probar la conclusión por derecho y efectuamos un rodeo, la demostración indirecta, por alguno de los caminos siguientes:
a. por eliminación. Consiste en probar la verdad o conveniencia de una proposición mostrando que todas las otras hipótesis posibles son falsas o inconvenientes. Este es el patrón que siguen los argumentos por enumeración, los disyuntivos y los dilemas.Son argumentos disyuntivos los que como primera premisa ofrecen un juicio disyuntivo en el que se afirman dos posibilidades incompatibles separadas por la conjunción o de modo que si se afirma una se excluye la otra: Estuvo allí o no estuvo. Para resolver cuál de las posibilidades es cierta (verosímil, con viniente) disponemos de dos caminos: negar una o afirmar la contraria:
Si consta que eltribunal fue comprado, lo fue o por Hábito o por Opiánico. Si demuestro que no lo fue por Hábito, pruebo que lo fue por Opiánico; y, si hago ver que lo fue por Opiánico, eximo a Hábito de culpabilidad. Cicerón.[3]
Empleamos los juicios disyuntivos en toda clase de cuestiones, bien enfrentado alter nativas diferentes (Tuvo que ser o el lunes o el jueves), bien una afirmación y su negación (Estuvo ono estuvo). De esta manera exponemos todas las controversias: La televisión es buena o no es buena para los niños, sean conjeturas, valoraciones o definiciones: es posible o no es posible; se llama así o asao; es útil o inútil. Ofrecemos dos alternativas incompatibles, cada una de las cuales se analiza por separado, general mente mediante un argumento condicional:
Nos hemos quedado sin luz encasa o en todo el barrio.
Si es en todo el barrio no habrá luz en la calle.
Si es en casa, habrá saltado el fusible.
En los argumentos por enumeración actuamos como si se tratara de disyuntivas ampliadas. Ofrecemos todas las soluciones posibles de un determinado problema para escoger entre ellas la buena: O vas a Madrid, o vas a Sevilla o te quedas en Santiago. Supuesto que la enumeración seacompleta y las diversas alternativas, incompatibles, argumentaremos exactamente igual que si se tratara de una disyuntiva: afirmamos uno de sus términos o negamos todos los demás.
S es A o B o C
Pero no es B ni es C
Luego es A
El asesino hubo de ser: o Pedro, o Carlos, o Andrés.
- Si hubiera sido Pedro, tuvo que estar presente, pero estaba de viaje. Luego no fue Pedro.
- Si hubiera sido Andrés,tuvo que manejar el arma, pero no pudo, porque es paralítico. Luego no fue Andrés.
En conclusión: si no han sido ni Pedro ni Andrés, tuvo que ser Carlos.
Así argumenta Allan Poe en Los crímenes de la calle Morgue:
Los asesinos tuvieron que salir por la puerta, por la chimenea o por la ventana de la habitación trasera. Sabemos que no utilizaron la puerta porque había testigos. No cabe un serhumano por el hueco de la chimenea. Si estas dos posibilidades son imposibles, necesariamente tuvieron que salir por la ventana aunque esté cerrada por dentro. Sólo nos falta demostrar que esta aparente imposibilidad no es tal en la realidad.
Como es obvio, el argumento no se resuelve si nuestra exclusión es parcial:
La avería tenía que ser por un fallo de la batería, de la delco o de las bujías.Le he cambiado las bujías, así que ahora el coche tiene que ir bien.
Los dilemas son una variedad de argumento disyuntivo caracterizada porque las dos posibilidades que se consideran conducen al mismo resultado.
Una de dos, intenta irritarnos o no.
Si lo intenta, no debemos enfadarnos, porque le proporcionaríamos una satisfacción que no merece.
Si no lo intenta, tampoco debemos enfadarnos,...