MATEMATICAS DISCRETAS

Superficie de revolución
Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:


Superficie de revolución.
Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotaciónde una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio.
Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice, de forma que el ángulobajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.
Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.
Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje queno la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.
Aplicaciones
La utilización de superficies de revolución es esencial en diversos campos de la física y la ingeniería, así como en el diseño, cuando se dibujan objetos digitalmente, sus superficies pueden ser calculadas de este modo sin necesidad de medir la longitud o el radio del objeto.
La alfarería, y el torneado industrial,moldean y modelan volúmenes con variadas superficies de revolución de gran utilidad y uso cotidiano.
Área de una superficie de revolución
Si la curva está definida por las funciones  y , perteneciendo  a un intervalo  y siendo el eje de revolución el eje coordenado , el área  estará dada, entonces, por la integral


siendo  siempre positiva. Esta ecuación es equivalente al Teorema delcentroide de Pappus. Asimismo, la cantidad


se deriva del teorema de Pitágoras y representa un segmento diferencial del arco de la curva, como en la ecuación de la longitud de arco. La cantidad  es el camino descrito por el centroide de dicho segmento girando alrededor del eje de revolución.
Si la curva está definida por la función , la integral se transforma en


para una curva que gira alrededordel eje de las abscisas, y


para una curva que gira alrededor del eje de las ordenadas.
Como ejemplo, la esfera, con un radio unitario, está generada por la curva  y  cuando  toma valores en el intervalo . Su área, por tanto, será


Geometría diferencial de superficies de revolución
Artículo principal: Geometría diferencial de superficies
Una superficie de revolución puede serparametrizada mediante una coordenada a lo largo de su generatriz u y una coordenada angular v de tal manera que:

Las curvas con u = constante, son círculos llamados paralelos, mientras que las líneas con v = constante, llamados meridianos son líneas geodésicas de longitud y curvatura mínimas. Además los coeficientes de la primera forma fundamental o tensor métrico de una superficie resultan ser:Por lo que la métrica es diagonal. En cuanto a la segunda forma fundamental relacionada con la curvatura de la superficie también toma una forma particularmente simple:

















 Definir las coordenadas cilíndricas.
Son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en ladirección del eje. Es una extensión de las coordenadas polares para tres dimensiones.
 Representar gráficamente las coordenadas cilíndricas.
L a representación de coordenadas cilíndricas de un punto (r, , z), donde r y  son las coordenadas polares de la proyección de P en plano polar y z es la distancia dirigida desde el plano hasta P.

 Escribir las formulas para transformar las...