matematicas discretas

RELACIONES matematicas discretas

Una relación es un subconjunto de un producto cartesiano.

Ejemplo:

A•B
A = {a, b} B= {1, 2, 3}

R = {(a, 1); (a, 3); (b, 2); (b, 3)}PRODUCTOCARTESIANO

Es la relación entre los elementos de un conjunto con los otros elementos de otro conjunto. Como los polinomios.

Ejemplo:

A = {a, b}, B= {1, 2, 3}

A•B= {(a, 1); (a, 3);(b, 2); (b,3)}

RELACIÓN BINARIA
Es una correspondencia entre los elementos de un mismo conjunto

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

a) Reflexiva:

Son todos los elementos relacionadoscon si mismo oiguales.

Ejemplo:

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

Se dice que es reflexiva porque x ∈ X, (x, x) ∈ R

(1, 1), (2,2), (3, 3)y (4, 4) están en R

b) Simétrica:
Es simétrica cuando una relación cumple con la siguiente definición:
Si para cada x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R

Ejemplo:Deben ser losmismos valores a la inversa.
(3, 4) y (4, 3)
c) Transitiva:
Es transitiva si se cumple la siguiente definición:
x, y, z ∈ X, si (x, y) y (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R

Losdos productosdeben dar a un tercer producto y el segundo elemento de los productos no debe estar en el tercer producto.

Ejemplo:

(1, 2), (2, 3) se tiene (1, 3)
(1, 3), (3, 4) se tiene(1, 4)Todos pertenecen a R
(2, 3), (3, 4) se tiene (2, 4)

d) Antisimétrica:
Es igual a la propiedad simetría pero la simetría de los elementos no pertenecerá a la Relación.
Debecumplir con la siguientedefinición:

x, y X, si (x, y) ∈ R y x ≠ y, entonces (x, y) ∉ R
Ejemplo:

(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) pertenecen a R, pero (2, 1), (3, 1), (4, 1),(3, 2), (4, 2), (4, 3) nopertenecen a R.

RELACIONES DE EQUVALENCIA

Una relación binaria puede ser una equivalencia si cumple con estas tres propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva.