Matematicas discretas

Matemáticas Discretas
Capítulo 1: Lógica Matemática Y Demostraciones

Lógica Matemática
La lógica: Estudio del razonamiento. Se analiza si un razonamiento es correcto. Se centra en las relaciones entre los enunciados No se centra en el contenido (significado) de un enunciado particular.

Lógica Matemática

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Por ejemplo:
Todos los estudiantes llevancalculadora Los que usan calculadora son estudiosos Por lo tanto:

Cont...
A la lógica no le interesa el significado de las dos premisas. La lógica no permite determinar si estos enunciados son verdaderos, pero si los dos primeros son ciertos entonces la lógica garantiza que el tercer enunciado (conclusión) es verdadero. Los métodos lógicos son usados en matemáticas para probar teoremas, en computaciónpara determinar si un programa realiza lo que se propone y en sistemas digitales para calcular las salidas de los circuitos.

Todos los estudiantes son estudiosos.

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Proposiciones
Una proposición o enunciado es una oración que declara que algo es verdadero o falso pero no ambas cosas. Se expresa con una afirmación declarativa y no como unapregunta, instrucción, etc. Son los bloques de construcción básicos para cualquier teoría de la lógica. Generalmente se las representa con letras minúsculas: p, q, r (variables positivas)

Cont...
Ejemplo:
Son proposiciones: Ayer llovió El sol esta brillando hoy 7 es un número primo 1+1 = 3 Margaret Michell escribió Lo que el viento se llevó No son proposiciones: ¡Qué bonita tarde! Mira si estalloviendo Si n fuera número primo ¿es 4.5 entero?

Lógica Matemática

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Conectores
Sirven para combinar proposiciones o variables positivas Son la conjunción “y” y la disyunción “ó” El resultado de unir dos o más proposiciones se llama proposiciones compuestas La negación no es un conector pero también nos da una proposición compuesta.

Cont...
Negación
Si p es unaproposición, la negación de p es la proposición “no p” denotada por ~p o p
~p : “no es el caso p”

De esta definición se desprende que:
si p es verdadera entonces ~p es falsa si p es falsa entonces ~p es verdadera

La tabla de verdad es:

p V F

~p F V

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Conjunción
Su símbolo en lógica es el “∧”: p ∧ q En programación generalmente se usael “&”: p&q Otras representaciones son: p·q, pq En texto normal se identifica claramente por la conjunción “y”

Cont...
Cont..
Sean p y q proposiciones. La conjunción de p y q denotado p∧q es la proposición p y q ∧ Si p: 1 + 1 = 3 q: Un decenio tiene 10 años La conjunción de p y q es p∧q: 1 + 1 = 3 y un decenio tiene 10 años
p q V F V F p∧q ∧ V F F F

La tabla de verdad es:

V V F FLógica Matemática

Lógica Matemática

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Disjunción
Su símbolo en lógica es el “∨”: p ∨ q En programación generalmente se usa el “|”: p | q Otra representación es: p+q En texto normal se identifica claramente por la disjunción “o”

Cont...
Cont..
Sean p y q proposiciones. La disjunción de p y q denotado p∨q es la proposición p o q ∨ Si p: 1 + 1 = 3 q: Un decenio tiene 10 años Ladisjunción de p o q es p ∨ q: 1 + 1 = 3 ó un decenio tiene 10 años
p q V F V F

La tabla de verdad es:

p∨q V V V F

V V F F

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Tablas de Verdad
Son el enunciado de todos los valores de verdad que pueden tomar las proposiciones dentro de una proposición compuesta.

Cont...
Representación de texto natural
Se puede transformar un textonatural a expresiones lógicas dividiéndolo en proposiciones y operadores (disjunción, conjunción y negación) Esta conversión nos ayuda a determinar más fácilmente el valor de verdad de la expresión.

Lógica Matemática

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Cont ...
En cierto país esta prohibido tener más de tres gatos y tres perros en una casa. Si una persona tiene 6 perros, pero ningún gato, ¿esta...