Matematicas ecuaciones Conicas

Definición
Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo que forman el plano y el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono determina las distintas clases de cónicas. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.

Hay varias formas de estudiar las cónicas:
a) Se pueden estudiar comohicieron los griegos, como has visto en las figuras
anteriores, en términos de intersecciones del cono con planos.
b) Se pueden estudiar como casos particulares de ecuaciones de segundo grado con dos variables x e y
Ax2 +B x y +C y2 +Dx+E y +F = 0
c) Sin embargo , es más adecuado estudiarlas como lugares geométricos de puntos que cumplen cierta propiedad geométrica
La circunferencia
Definición
Unacircunferencia es el lugar geométrico de los P(x, y) que equidistan de un punto fijo C llamado (centro)
d(P,C) = cte = radio
Sea P(x, y) un punto cualquiera verificando d(P,C) = r, siendo r el radio y C(x0, y0) el centro. De la formula de la distancia de dos puntos se tiene

Cuando la circunferencia tiene el centro en el origen se tiene la ecuación reducida

Ecuación vectorial de la circunferencia
Lacircunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial:

Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que el componente X y el componente Y, al cuadrado y sumados deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
Ecuación en coordenadas polaresEcuación en coordenadas paramétricas
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:

Elipse
Una elipse es el lugar geométrico de los P(x, y) cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante
Definiciones: 

Observaciones: 
i. De hecho, cualquier par de puntos del plano pueden servir como focos de una elipse. Por simplicidad, solo seconsiderarán inicialmente aquellos casos en los cuales los focos están en el mismo eje (eje x, eje y) y son simétricos uno del otro con respecto al origen (fig.

  Construcción de la Elipse  
Existen muchas construcciones geométricas de la elipse, pero en la mayoría de ellas se requiere conocer algunos elementos adicionales (la directriz, la excentricidad, ...etc.) de la elipse que no han sidomencionados hasta ahora. Por esta razón, solo se presentan dos métodos geométricos sencillos para construir la elipse.  Construcción 1 
Supóngase que en el plano se tienen dos puntos fijos F y F". Se toma una cuerda de longitud 2a (mayor que la distancia entre los focos). Con la punta P de un lápiz se tensiona la cuerda. Al mover el lápiz manteniendo en todo momento tensionada la cuerda, el punto Pdescribe la elipse pedida.    

Construcción 2 
Supóngase que nos plantean el problema de construir la elipse de ecuación dada por

Se procede entonces como sigue:

Se traza luego un rayo cualquiera con origen en 0, el cual intercepta a los círculos en los puntos S y N. Por estos puntos, se trazan paralelas a los ejes x e y respectivamente, las cuales se cortan en el punto M(xm, ym). 

Las leyes deKepler
En 1609 Johannes Kepler (1571-1620) publica, utilizando las observaciones
de su maestro Tycho Brahe, su obra "Astronomía Nova" en donde enuncia las dos primeras leyes referente a las ´orbitas de los planetas. Posteriormente,
en 1619, Kepler publicaria la tercera.
Primera Ley: Los planetas describen orbitas elípticas en uno de cuyos focos
está el Sol.
Segunda Ley: Las áreas barridas por larecta que une el sol con el planeta
son directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.
Tercera Ley : Los cuadrados de los periodos de revolucion son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de las ´orbitas.

Parábola
En matemática, la parábola (del griego pa?aß???) es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.1
Se...