matematicas ejercicios

C u r s o : Matemática
Material N° 38
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 29
UNIDAD: GEOMETRÍA
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
Determinación del plano:
Un plano queda determinado por:
Dos rectas que se intersectan en un punto (fig. 1).

P

L1
L2

Tres puntos no colineales (fig. 2).

P

A

B

Por una recta y un punto no perteneciente a ella(fig. 3).

P

P

fig. 2

C

L1

A

Por dos rectas paralelas (fig. 4).

fig. 1

fig. 3

L1
L2

fig. 4

EJEMPLO
1.

¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?
A)
B)
C)
D)
E)

Un
Un
Un
Un
Un

plano
plano
plano
plano
plano

está
está
está
está
está

determinado
determinado
determinado
determinado
determinado

por una recta y un puntoperteneciente a la recta.
por los cuatro vértices de un cuadrilátero.
por dos rectas perpendiculares.
por dos lados no consecutivos de un rombo.
por los vértices de un triángulo rectángulo.

DEFINICIONES
POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara,
sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.

Arista
Cara
VérticePRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos
congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).
ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y su

medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo
punto.
Ángulo
P2
Semiplano
Arista
diedro

P1

EJEMPLOS1.

¿Cuánto mide el ángulo diedro formado por los planos P1 y P2 que se cortan
perpendicularmente en la figura 1?
A)
B)
C)
D)
E)

2.

P2

30º
45º
54º
90º
108º

fig. 1

P1

¿Cuánto mide el ángulo diedro formado por las caras laterales del prisma de la figura 2,
cuya base es un pentágono regular?
A)
B)
C)
D)
E)

30º
45º
54º
90º
108º

fig. 2

2

CUERPOSGENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS
CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje
ESFERA

eje de giro

CILINDRO

CONO

TRONCO DE
CONO

CILINDRO CON
DOS CONOS

TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:

Prisma triangular

Prisma trapezoidal

Prisma pentagonal

Prismahexagonal

Cilindro circular recto

EJEMPLOS

1.

Dado un triángulo ABC, rectángulo en C (figura 1).
rotación de dicho triángulo en torno a su hipotenusa?
C

A
A)

2.

B)

¿Cuál es el cuerpo generado por la

fig. 1

B
C)

E)

D)

En la figura 2, se muestra un cuerpo de revolución. Este cuerpo puede ser generado por la
rotación de la región
fig. 2

I)

A)

SóloI

II)

B)

Sólo II

C)

III)

Sólo III
3

D)

Sólo I y II

E)

Sólo I y III

CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

NOMBRE

PARALELEPÍPEDO
RECTANGULAR

FORMA

ÁREA

2(ab +bh + ah)

a⋅b⋅h

6a2

h

VOLUMEN

a3

a

b

a

CUBO

a

a

Volumen

B

h(a + b + c)+ 2B
B = área basal

Bh

h

2πrh + 2πr2

πr2 ⋅ ha

PRISMA RECTO
RECTANGULAR

2ag + a2
g = apotema
lateral

1 2
a ⋅h
3

h

a
b

Área de la base por
la altura

c

CILINDRO RECTO
BASE CIRCULAR

• r

PIRÁMIDE RECTA
BASE CUADRADA

g

h

a
CONO RECTO BASE
CIRCULAR

πrg + πr2
g= generatriz

1 2
πr ⋅ h
3

4πr2

h g

4 3
πr
3

•r

ESFERA

•

r

4

Volumen
Área de la base por
la alturadividido
por tres

EJEMPLOS

1.

El área de la esfera cuyo radio mide 6 cm es
A)
B)
C)
D)
E)

2.

cm2
cm2
cm2
cm2
cm2

¿Cuál es el volumen del cono generado por la rotación de un triángulo rectángulo isósceles,
en torno a uno de sus catetos de longitud 3 cm?
A)
B)
C)
D)
E)

3.

16π
36π
72π
144π
288π

3π cm3
6π cm3
9π cm3
27π cm3
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