Matematicas Ejercicios

C ́lculo Diferencial e Integral I
a
Semestre 2013-I
Tarea de sucesiones
Profesor: Javier P ́ez C ́rdenas
a
a
Ayudantes: Patricia V ́lez Mellado y Adri ́n Hinojosa Calleja
e
a
1. La sucesi ́n {xn } se define por las f ́rmulas siguientes para el n- ́simo t ́rmino. Escribir los cinco
o
o
e
e
primeros t ́rminos en cada caso:
e
(−1)n
1
1
a) xn = 1 + (−1)n
b) xn =
c) xn =
d) xn =2
n
n(n + 1)
n +2
2. A continuaci ́n se dan los primeros t ́rminos de una sucesi ́n {xn }. Suponiendo que el “patr ́n
o
e
o
o
natural” indicado por estos t ́rminos se mantiene, dar una f ́rmula para el n- ́simo t ́rmino xn .
e
o
e
e
a) 5, 7, 9, 11, . . .
1
b) 1 , − 1 , 1 , − 16 , . . .
2
4 8
c) 1 , 2 , 3 , 4 , . . .
2 3 4 5
d) 1, 4, 9, 16, . . .
3. Enumerar los cinco primerot ́rminos de las sucesiones siguientes definidas recursivamente.
e
a) w1 = 1, wn+1 = 3wn + 1
b) x1 = 1, xn+1 = c) y1 = 1, y2 = 2, yn+2 =
d) z1 = 3, z2 = 5, zn+2
1
2
xn +
2
xn
yn+1 + yn
yn+1 − yn
= zn+1 + zn
4. Demostrar que para cualquier b ∈ R, l ́ n→∞
ım
b
n
= 0.
5. Usar la definici ́n de l ́
o
ımite de una sucesi ́n para demostrar los siguientes l ́
o
ımites.
1
2n
a) ĺ n→∞ 2
ım
=0
b) l ́ n→∞
ım
=2
n +1
n+1
d) l ́ n→∞ n2 − 1
ım 1
=
2n2 + 3
2
a) l ́ n→∞ √ b) l ́ n→∞ 2n
ım ım =2
n+2
c) l ́ n→∞ d) l ́ n→∞ (−1)n n
ım ım =0
n2 + 1
c) l ́ n→∞
ım
3
3n + 1
=
2n + 5
2
6. Demostrar que
1
=0
n+7
√
n
=0
n+1
o
ım
7. Demostrar que l ́ n→∞ xn = 0 si y s ́lo si l ́ n→∞ |xn | =0. Dar un ejemplo para demostrar que
ım
la convergencia de {|xn |} no implica la convergencia de {xn }.
√
8. Demostrar que si xn ≥ 0 para toda n ∈ N y l ́ n→∞ xn = 0, entonces l ́ n→∞ xn = 0.
ım
ım
9. Demostrar que si l ́ n→∞ xn = x con x > 0, entonces existe un n ́mero natural N tal que xn ≥ 0
ım
u
para toda n ≥ N .
10. Demostrar que l ́ n→∞ 1
ım = 0.
3n
11. Demostrarque l ́ n→∞ n2
ım = 0.
n!
1
12. Demostrar que l ́ n→∞
ım
2n
2n
= 0 [Sugerencia: si n ≥ 3, entonces 0 <
≤2
n!
n!
2 n−2
3
].
1
13. Sea b ∈ R tal que b > 0. Demostrar que l ́ n→∞ b n = 1.
ım
1
14. Demostrar que l ́ n→∞ n n = 1.
ım
15. La sucesi ́n {xn } se define por las f ́rmulas siguientes para el n- ́simo t ́rmino. Determinar (y
o
o
e
e
demostrar) en cada casosi la sucesi ́n es o no es convergente:
o
a) xn =
n
n+1
b) xn =
(−1)n n
n+1
c) xn =
n2
n+1
d) xn =
2n2 + 3
n2 + 1
16. Dar un ejemplo de dos sucesiones no convergentes {xn }, {yn } tales que su suma {xn + yn }
converja.
17. Dar un ejemplo de dos sucesiones no convergentes {xn }, {yn } tales que su producto {xn yn }
converja.
18. Demostrar que si {xn } y {yn } son sucesiones talesque {xn } y {xn +yn } son convergentes entonces
{yn } es convergente.
19. Demostrar que si {xn } y {yn } son sucesiones tales que {xn } converge a x = 0 y {xn yn } converge,
entonces {yn } converge.
20. Demostrar que la sucesi ́n {2n } no es convergente.
o
21. Demostrar que la sucesi ́n {(−1)n n2 } no es convergente.
o
22. Encontrar los l ́
ımites de las siguientes sucesiones:
√
(−1)nn−1
n+1
1 2
b) xn =
c) xn = √
d) xn = √
a) xn = 2 + n
n+2
n+1
n n
√
√
√
23. Sea yn = n + 1 − n para todo n ∈ N. Demostrar que las sucesiones {yn } y { nyn } convergen.
1
24. Demostrar que si zn = (an + bn ) n , donde a, b ∈ R y 0 < a < b, entonces l ́ n→∞ zn = b.
ım
25. (Criterio del cociente) Sea {xn } una sucesi ́n de n ́meros reales positivos tal que existe L =
o
u
xn+1
ĺ n→∞
ım
. Si L < 1, entonces {xn } converge y adem ́s l ́ n→∞ xn = 0.
a ım
xn
26. Aplicar el criterio de convergencia del cociente a las siguientes sucesiones, donde a y b satisfacen
que 0 < a < 1 y b > 1.
a) {an }
b)
bn
2n
c)
n
bn
d)
23n
32n
xn+1
= 1 no
xn
nos dice nada respecto a la convergencia de {xn } (no se puede usar como criterio) completar los
siguientes incisos....