Matematicas Ejercicios

PRÁCTICAS MATEMÁTICAS I

CURSO 2015-2016

TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
TEMA 2. APROXIMACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
TEMA 3. AMPLIACIÓN DE CÁLCULO MULTIVARIANTE
TEMA 4. CÁLCULO INTEGRAL
TEMA 5. AMPLIACIÓN DE CÁLCULO INTEGRAL

1

TEMA 1
INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
1. En el siguiente grá…co aparecen las curvas de nivel de alguna (algunas) de lassiguientes funciones
f1 (x; y) = (2x + y

2

1) ; f2 (x; y) = x

y; f3 (x; y) = x + 2y + 4:

Diga a qué función corresponde cada curva de nivel y el valor de dicha función en ella.

2. En los siguientes grá…cos hemos dibujado en el primer cuadrante 3 curvas de nivel de cada una de las funciones
p
2
f (x; y) = 9x2 + (y 1) ; g(x; y) = 2x + y 2 ; h(x; y) = 2 + y + x

¿A qué función corresponde cadagrá…co? Determine el valor de la función en las curvas de nivel dibujadas.
3. Represente grá…camente 3 curvas de nivel de cada una de las siguientes funciones.
(i) f (x; y) = y + ln(x + 1);

(ii) f (x; y) = (x

2)4 y;

2

(iii) f (x; y) = (x + 1) + y 2 ;

(iv) f (x; y) =

4. Señale en el grá…co que aparece debajo el conjunto
S = f(x; y) 2 R2 : y > ex

1; y

indicando cuál es cada una de las curvas.

22x + 2; y

5

x2 ; x

0; y

0g:

p

2x + y:

5. Halle el dominio de de…nición de las siguientes funciones
cuál es el valor de la función en ellas.
a) f (x; y) = x 3y
b) f (x; y) = ln(x 3y)
e) f (x; y) = 4(x 1)2 + 9(y 2)2
d) f (x; y) = y x 2
g) f (x; y) = ln y + x h) f (x; y) = ln(y + e x )

y dibuje algunas de sus curvas de nivel, indicando
c) f (x; y) = x + 4y 2
f) f (x; y) = (x 1)1=2 (y
i) f (x;y) = y + e x

2)

6. Diga a cuáles de las funciones siguientes se corresponden con los grá…cos presentados a continuación:
a) f (x; y) = x2 + y 2
c) f (x; y) = 2y

b) f (x; y) = 3x

x

d) f (x; y) =

x

2

2y
y2

7. La función

x21
2x2
2
proporciona la temperatura media (en grados centígrados) durante el mes de Enero en Siberlandia. El mapa
de dicho país podría aproximarse por la región delplano
f (x1 ; x2 ) = 2

S = (x1 ; x2 ) 2 R2 : x1

4; x2

6; x1

x2

2 ;

siendo el punto (0; 0) el lugar donde se encuentra la capital.
a) Dibuje el mapa de Siberlandia junto con algunas curvas de nivel de la función f (x1 ; x2 ):
b) Si usted no soporta temperaturas inferiores a los 6o ; ¿Qué parte del país no visitará? ¿Irá a la capital?
c) ¿En qué lugar de Siberlandia la temperatura es mássuave?¿Cuál es el lugar más frío?
8. Suponga que la función f (x1 ; x2 ) = 3(x1 + x2 )1=2 representa la cantidad producida de bien Y cuando se
emplean las cantidades x1 y x2 de los factores X1 y X2 cuyos precios son p1 = 2 y p2 = 1 unidades monetarias
respectivamente.
a) Encuentre el dominio de de…nición de f y represéntelo grá…camente. ¿Coincide el dominio de de…nición
con su dominio natural?
b) Halle lafunción g que da el coste de cada combinación (x1 ; x2 ) de factores.
c) Encuentre y represente grá…camente los siguientes conjuntos:
i) Todas las combinaciones (x1 ; x2 ) de factores para producir al menos 12 unidades de bien.
ii) Todas las combinaciones (x1 ; x2 ) de factores cuyo coste no exceda de 20.
iii) Todas las combinaciones (x1 ; x2 ) que nos permitan produdir al menos 12 unidades de bien Ycon un coste
que no exceda de 20:
9. Considere las funciones U (x; y) = x1=2 y 1=4 y M (x; y) = 2x + 4y: Represente grá…camente los siguientes
conjuntos:
3

a) Represente grá…camente el conjunto A = (x; y) 2 R2++ : 2x + 4y 24 :
b) Halle y represente grá…camente la curva de nivel de U (x; y) que pasa por el punto (1; 1) :
c) Represente grá…camente los conjuntos A \ B y A [ B; siendo B elconjunto
B = (x; y) 2 R2 : U (x; y)
NOTA: R2++

(x; y) 2 R2 : x

0; y

0 ; R2+

1 :

(x; y) 2 R2 : x > 0; y > 0 :

10. Cuando una empresa produce x e y unidades de los bienes X e Y; incurre en unos costes dados por la función
C(x; y) = x + 2y 2 :
a) Encuentre y represente grá…camente la curva de isocoste que contiene al punto (6; 1) :
b) Encuentre otro par de cantidades (x; y) que esté en la misma...