Matematicas empresariales

GRADO EN ECONOMÍA. MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA y LA EMPRESA
RELACIÓN BÁSICA DE PROBLEMAS. LECCIÓN 1 (Epígrafe 6)

1.a) Clasifique la forma cuadrática definida por la matriz:

1 2 1    A = 2 4 2   1 2 − 3  
b) Clasifique dicha forma cuadrática restringida a x1+2x2 = 0.

Solución: a) La matriz de la forma cuadrática sin restringir posee elementos de signo distinto en la diagonalprincipal, por tanto define una forma cuadrática indefinida. b) Al restringir la forma cuadrática anterior puede tener cualquier signo. Obtengamos inicialmente la expresión analítica de la forma cuadrática sin restringir:  1 2 1   x1     φ ( x1 , x 2 , x3 ) = (x1 , x 2 , x3 ) 2 4 2   x 2  =  1 2 − 3  x    3 
2 2 = x12 + 4 x 2 − 3 x3 + 4 x1 x 2 + 2 x1 x3 + 4 x 2 x3Posteriormente despejamos x1 de la restricción: x1 = -2x2 y sustituimos esta expresión en φ, obteniendo una forma cuadrática que depende de dos variables, por tener tres variables iniciales y sólo una restricción:
2 2 2 φ R ( x 2 , x3 ) = (− 2 x 2 )2 + 4 x 2 − 3 x3 + 4(− 2 x 2 )x 2 + 2(− 2 x 2 )x3 + 4 x 2 x3 = − 3x3

= (x2

0   x2  0 x3 )  0 − 3  x      3 

Puesto que la matrizasociada a la forma cuadrática restringida es diagonal, sus valores propios son los elementos de la diagonal principal, y al ser uno nulo y otro negativo la forma cuadrática es semidefinida negativa.

2.- Dada la forma cuadrática ϕ ( x, y, z ) = 2 x 2 + y 2 + 2 z 2 − 2 α xy a) Clasifíquela dependiendo del valor del parámetro α. b) Para el valor del parámetro α = 2, clasifique dicha forma cuadráticarestringida a x − 2y = 0 Solución: a ) La matriz asociada a esta forma cuadrática, y sus menores principales son:  2  A = − α   0  0  D1 = 2   0  ⇒  D2 = 2 − α   D = 4 − 2α 2  3 

− α 1 0

Hemos de analizar el signo del segundo y tercer menor principal dependiendo del parámetro α, y pueden darse los siguientes casos: 1) D2 = 2- α > 0 ⇔ α < 2 , en cuyo caso la forma cuadráticasería definida positiva, ya que los tres menores serían positivos. 2) D2 = 2- α < 0 ⇔ α > 2 , siendo en este caso la forma cuadrática indefinida porque tendríamos un menor de orden par negativo 3) Veamos qué ocurre para α = 2. En tal caso la matriz asociada y sus menores serían:  2  A = − 2   0  − 2 1 0 0  D1 = 2   0  ⇒  D2 = 0  D = 0 2  3 

la cual parece ser semidefinidapositiva pero para poder afirmarlo debemos comprobar que esta clasificación se mantiene bajo cualquier transformación fila-columna luego debemos verificar este hecho:

 1  T12 =  − 2   0 

− 2 2 0

0  D1 = 1 > 0   0  ⇒  D2 = 0  D = 0 2  3 

0 0   D1 = 2 > 0 2    1 − 2  ⇒  D2 = 2 > 0 T13 =  0 0 − 2 D = 0 2     3  2 0 − 2  D1 = 2 > 0    2 0  ⇒  D2 = 4 > 0T23 =  0   D = 0 − 2 0 1   3  
Vemos, por tanto, que se mantiene semidefinida positiva para el valor α = 2 bajo cualquier transformación fila-columna. b) Para el valor α = 2 hemos visto que la matriz sin restringir es semidefinida positiva. Vamos a ver cómo sería restringida:

ϕ ( x, y, z ) = 2 x 2 + y 2 + 2 z 2 − 2 2 xy
s.a. x − 2y = 0 ⇒ x = 2y

luego tendríamos:

ϕ R ( y, z ) =2( 2 y ) 2 + y 2 + 2 z 2 − 2 (2( 2 y ) y = y 2 + 2 z 2
cuya matriz asociada es:

 D1 = 1 1 0 AR =   0 2  ⇒ D = 2     2
siendo por tanto definida positiva.

3.- Una empresa está pensando en producir tres nuevos productos en cantidades x, y, y z respectivamente. Se sabe que los beneficios esperados tras su producción seguirían la siguiente expresión: B ( x, y, z ) = 2 x 2 − y 2 + 3z 2 + 4 xz + 2 yz Además tras realizar un estudio de mercado se ha llegado a la decisión de producir el doble del tercer producto que del segundo. ¿Obtendrá beneficios la empresa con este lanzamiento?

Solución: Vamos a clasificarla primero sin restringir, para ello calculamos su matriz simétrica asociada:

 2 0 2  D1 = 2    A =  0 − 1 1  ⇒  D2 = −2  2 1 3 D = 0    3
A la...