matematicas empresariales

Matem´ticas Empresariales
a

Examen del 17/01/2013

´
´
Grado en Administracion y Direccion de Empresas
´
´
Doble Grado en Administracion y Direccion de Empresas y Derecho
Apellidos.................................................................

Tipo A

Nombre...................................

DNI........................

– Duraci´n: 2 horas y 30 minutos.
o
– No sepermite el uso de calculadoras, tel´fonos m´viles, dispositivos electr´nicos ni compartir ning´n tipo de material.
e
o
o
u
– Es obligatorio realizar el ejercicio con bol´
ıgrafo y letra clara, as´ como escribir la soluci´n del problema en su plantilla
ı
o
correspondiente.
– Un ejemplar del examen resuelto se depositar´ en el campus virtual.
a
– Las calificaciones se har´n p´blicas en elCampus Virtual y en el tabl´n de anuncios del Dpto. de M´todos Cuantitativos en
a u
o
e
Econom´ y Gesti´n. M´dulo D, 3a planta el 1/02/2013. La revisi´n ser´ el 4/02/2013 y el 5/02/2013 de 12–13 horas en la
ıa
o
o
o
a
sala D–4.1.
– Marcar con una × su respuesta a las cuestiones tipo test en la tabla siguiente, justificando las respuestas en su plantilla
correspondiente. Cuide que la opci´nelegida quede clara. S´lo una de las alternativas es correcta. Las respuestas correctas
o
o
suman 4 puntos, las incorrectas restan 2 puntos, y las que se dejen en blanco no punt´an.
u

Tipo A 1 2 3 4 5
a
b
c
Cuestiones tipo test

1.

2

La funci´n f (x) = ex
o

−9

− x2 es:

4.

Dado el problema
Opt f (x, y) = 2 − x − y,
s.a xy = 2,

a) Decreciente en (−3, 0) ∪ (3, +∞).b) Creciente en (−∞, −3) ∪ (0, 3).

siendo x > 0, y > 0, su resoluci´n gr´fica indica que:
o
a
√ √
a) ( 2, 2) es m´ximo global.
a
√ √
b) ( 2, 2) es m´
ınimo global.

c) Creciente en (−3, 0) ∪ (3, +∞).
2.

Dada la funci´n f (x, y) = 3x2 ln y + x3 y, la variaci´n de
o
o
la funci´n f (x, y) cuando las variables se desplazan de
o
(1, 1) hasta (0.8, 1.1), utilizando la diferencialtotal, esto es
df (1, 1), es:
a) 0.2.

3.

b) −0.2.

Sea f (x, y) = ex

2

y

∂f
∂u

a) 3e − 4.

u=1
v=1

5.

(2, 2) es m´ximo global.
a

Los precios sombra del problema
min 3x1 + 2x2 ,
s.a x1 ≥ 1,
x2 ≥ 2,
x1 , x2 ≥ 0.

− 2xy, con

x = v + ln u,
Entonces

c) 0.4.

c)

y = euv−1 .
son:

es:

a)
b) e − 4.

c) 3e.

∗
∗
y1 = 3, y2 = 2.

b)

∗∗
y1 = 2, y2 = 3.

c)

∗
∗
y1 = y2 = 2.

Problema 1
I) Dada la funci´n f (x, y) = x3 + x2 − xy + y 2 , se pide:
o
a) Calcular los puntos cr´
ıticos y clasificarlos.

(4 puntos)

b) Calcular la recta tangente a la curva de nivel en el punto (−1, 0).

(3 puntos)

II) Sea C(x, y) = x2 + y 2 el coste que soporta una empresa para producir un bien utilizando dos factores en cantidadesx > 0 e
y > 0, respectivamente. Si la producci´n viene dada por q(x, y) = x2 y, se pide:
o
a) Plantear el problema de optimizaci´n que permite minimizar el coste que supone para la empresa producir 2 unidades de
o
producto.
(1 punto)
b) Hallar los puntos cr´
ıticos de la funci´n lagrangiana asociada a este problema.
o

(3 puntos)

c) Escribir la expresi´n de la restricci´n y de lascurvas de nivel, indicando en cada caso qu´ tipo de curvas son y representarlas.
o
o
e
(3 puntos)
d ) Calcular la curva de nivel que pasa por el punto cr´
ıtico y el vector gradiente en dicho punto.

(2 puntos)

e) Justificar geom´tricamente si el punto cr´
e
ıtico obtenido corresponde al ´ptimo buscado.
o

(2 puntos)

f ) ¿Ser´ rentable producir una unidad m´s de producto si elprecio de venta es de 2 u.m.?
ıa
a

(2 puntos)

Problema 2
Una empresa domiciliada en la Zona Especial Canaria del puerto de Las Palmas comercializa tres productos que exporta a
´
Africa. El ingreso obtenido con la venta es de 4, 1 y 2 u.m. por cada tonelada de los productos A, B y C, respectivamente. Los
productos son procesados y luego transportados en un contenedor. El procesado se...