Matematicas Espacio

2010PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010

MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO • Junio, Ejercicio 4, Opción A • Junio, Ejercicio 4, Opción B • Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A • Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B • Reserva 2, Ejercicio 4, Opción A • Reserva 2, Ejercicio 4, Opción B • Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A • Reserva 3, Ejercicio 4, Opción B • Reserva 4, Ejercicio 4,Opción A • Reserva 4, Ejercicio 3, Opción B • Septiembre, Ejercicio 4, Opción A • Septiembre, Ejercicio 4, Opción B

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Considera las rectas r y s de ecuaciones:

x −1 = y = 1− z

y

⎧x − 2y = −1 ⎨ ⎩ y+z = 1

a) Determina su punto de corte. b) Halla el ángulo que forma r y s. c) Determina la ecuación del plano que contiene a r y s. MATEMÁTICAS II. 2010.JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N

a) Resolvemos el sistema formado por las cuatro ecuaciones. y = x −1 ⎫ y = 1− z ⎪ ⎪ ⎬ ⇒ x = 3 ; y = 2 ; z = −1 x − 2 y = −1⎪ y+z = 1 ⎪ ⎭ Luego, el punto de corte es: (3, 2, − 1) b) Pasamos las dos rectas a paramétricas.
x = 1+ y⎫ → ⎪ x − 1 = y = 1 − z ⇒ y = y ⎬ ⇒ A = (1, 0,1) ; u = (1,1, − 1) z = 1+ y ⎪ ⎭
x = −1 + 2 y ⎫ → x − 2 y = − 1⎫ ⎪ ⎬⇒y = y ⎬ ⇒ B = (− 1, 0,1) ; v = (2,1, − 1) y+z = 1 ⎭ z = 1− y ⎪ ⎭

El ángulo que forman r y s es el ángulo que forman sus vectores directores, luego:
→ →

cos α =

u⋅ v

→

u⋅ v

→

=

2 +1+1 4 = = 0 '9428 ⇒ α = 19 '47º 3⋅ 6 18

c) El plano viene definido por el punto A y los vectores directores de las rectas, luego:
x −1 1 2 1 = 0 ⇒ y + z −1 = 0 −1

1 y z − 1 −1http://emestrada.wordpress.com

Los puntos P (2, 0, 0) y Q ( − 1,12, 4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice S

⎧ 4 x + 3 z = 33 . pertenece a la recta r de ecuación ⎨ ⎩y = 0 a) Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por P y S. b) Comprueba si el triángulo es rectángulo. MATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.

R E S O L U CI Ó N

a) Pasamos la ecuación de la recta a paramétricas. 33 − 3z ⎫ x= 4 ⎪ ⎪ ⎧4 x + 3z = 33 ⇒ y=0 ⎨ ⎬ ⎩y = 0 ⎪ z=z ⎪ ⎭
⎛ 33 − 3t ⎞ , 0, t ⎟ . Calculamos el Cualquier punto de la recta tendrá de coordenadas S = ⎜ ⎝ 4 ⎠ → ⎛ 33 − 3t ⎞ ⎛ 25 − 3t ⎞ vector PS = ⎜ − 2, 0, t − 0 ⎟ = ⎜ , 0, t ⎟ . Este vector es perpendicular al vector director de ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ la recta, luego, su producto escalar valecero.
→ → 75 9t ⎛ 3 ⎞ ⎛ 25 − 3t ⎞ u ⋅ PS = 0 ⇒ ⎜ − , 0,1⎟ ⋅ ⎜ , 0, t ⎟ = 0 ⇒ − + + t = 0 ⇒ t = 3 16 16 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠

⎛ 33 − 9 ⎞ Luego, el punto S tiene de coordenadas S = ⎜ , 0,3 ⎟ = ( 6, 0,3) ⎝ 4 ⎠ b) Calculamos el vector PQ = ( − 3,12, 4 ) .
PQ⋅ PS = ( − 3,12, 4 ) ⋅ ( 4, 0,3) = 0 ⇒ Son perpendiculares, luego, el triángulo es rectángulo en P.
→ → →

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Calculael área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano 6 x + 3 y + 2 z = 6 con los ejes de coordenadas. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.

R E S O L U C I Ó N Calculamos los puntos de corte del plano con los ejes coordenados: A = (1, 0, 0) ; B = (0, 2, 0) ;
C = (0, 0,3) . Calculamos los vectores AB = (− 1, 2, 0) y AC = (−1, 0,3) .
→ → →
→ →

ij 2 0

k

Hacemos el producto vectorial de los vectores: − 1 −1

0 = 6 i + 3 j+ 2 k 3

→

→

→

Área del triángulo =

→ 1 ⎛ → ⎞ 1 módulo ⎜ AB ∧ AC ⎟ = 2 ⎝ ⎠ 2

6 2 + 32 + 2 2 =

7 2 u 2

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Sean los puntos A(1,1,1) , B( − 1, 2, 0) , C (2,1, 2) y D( t , − 2, 2) a) Determina el valor de t para que A, B, C y D estén en un mismo plano. b) Halla laecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por A y B, que contenga al punto C. MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN B

R E S O L U C I Ó N

a) Calculamos la ecuación del plano que pasa por A, B y C. Para ello calculamos los vectores AB = (− 2,1, −1) y AC = (1, 0,1)
x −1 − 2 1 1 0 = x −1− y +1− z +1+ 2 y − 2 = 0 ⇒ x + y − z −1 = 0 y −1 z − 1 −1 1
→ →

Para...